平均数问题是一类常见的数学问题。解答平均数问题的关键是要理解平均数问题的数量关系：平均数＝各个数据的和÷数据的个数。
例1.王芳期中考试语文得89分，数学成绩比语文成绩少4分。如果语文，数学和英语这3门功课的平均成绩要达到90分，英语要考多少分？
分析：可以先求出3门功课的平均成绩达到90分时，总成绩是多少；再把语文和数学成绩的和计算出来，就可以求出英语要考多少分。
解：90×3－（89＋89－4）＝270－174＝96（分）
答：英语要考96分。
例2.有5个数，它们的平均数是138。如果再添上2个数240和190，那么这些数的平均数是多少？
分析1：要求平均数就要知道各个数的和与数的个数。先算出5个数的和，再算出7个数的和，然后根据数量关系进行计算。
解1：（138×5＋240＋190）÷（5＋2）＝1120÷7＝160
分析2：假设这7个数的平均数是138，那么先算出240和190分别比这个假设平均数多多少，把多的数的和除以7再加假设平均数就可以。
解2：138＋[（240－138）＋（190－138）]÷7＝138＋22＝160
答：这些数的平均数是160。
在题目内容中含有药水、盐水、酒精等，涉及它们的浓度及其计算的问题，叫做浓度问题。浓度问题的数量关系是：
浓度＝溶质重量÷溶液重量×100%＝溶质重量÷（溶质重量＋溶剂重量）×100%
浓度问题实际就是百分数的应用问题。
例1.实验室有一空水槽装有甲、乙、丙三根管子。已知甲管每秒钟流出浓度为20%的盐水4克；乙管每秒钟流出浓度为15%的盐水6克；乙管每秒钟流出清水10克。
现在先同时打开甲、乙两管，18秒钟后再打开丙管，在甲、乙两管打开1分钟后把三根管子同时关上，这时水槽中的盐水的浓度是多少？
分析：先分别算出甲、乙两管打开1分钟后流入盐水的重量，接着算出含纯盐多少克；再算出溶液一共有多少克，就可以算出水槽中的盐水的浓度。
解：（1）甲管在1分钟里流出的盐水：4×60＝240（克）
含纯盐：240×20%＝48（克）
2）乙管1分钟里流出的盐水：6×60＝360（克）
含纯盐：360×15%＝54（克）
3）丙管在（60－18）秒里流出的水是：10×（60－18）＝420（克）
4）水槽中的盐水的浓度是：
答：这时水槽中盐水的浓度是10%。
例2.有含盐量10%的盐水20千克，要使含盐量增加到20%，需要加盐多少千克？
分析：求需要加盐多少千克，可以看出：加盐的前后盐水的含水量不变。
由于有含盐量10%的盐水20千克，就是含水量（1－10%）的盐水20千克，那么可以求出加盐以前盐水的含水量是多少千克；要使盐水的含水量为（1－20%），那么就能够求出含水量为（1－20%）的盐水是多少，从而就可以求出需要加盐多少千克。
解：20×（1－10%）÷1－20%）－20＝22.5－20＝2.5（千克）
答：需要加盐2.5千克。
比是对整数除法以及分数的引申、扩展，它与除数除法、分数有着密切的联系。小学数学中的一些数量关系，有可能通过比和比例反映出来。只要抓住比与除法、分数的关系，就可以理解数量之间的关系，从比和比例的角度分析和解决一些小学数学问题。
1.比和比例的应用。
两个数相除有叫做两个数的比。比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。两个比相等的式子叫做比例。比例的内项之积等于外项之积。
例1 一块长方形菜地，长宽的比是3∶2，周长是600米，这块菜地的面积是多少？
分析：由于长宽的比是3∶2，所以可以把长、宽分别看作这样的3份和2份，这样长方形的周长就是这样的（3×2＋2×2）=10份。先求出一份是多少，就可以求出长方形的长和宽，长方形的面积也就可以求出了。
解：600÷（3×2＋2×2 ）=600÷10=60（米）
长方形的长和宽分别是：60×3=180（米）和60×2=120（米）
长方形的面积是：180×120=21600（平方米）
答：这块菜地的面积是21600平方米。
例2 加工一个零件，甲、乙、丙3个工人所需要的时间的比是4∶5∶8，现有9200个零件需要加工，如果甲、乙、丙3个工人用同样的时间加工，各自应该加工多少个零件？
分析：由于加工一个零件，甲、乙、丙3个工人所需要的时间的比是4∶5∶8，因此可以求出3个工人加工零件的工作效率的比，把9200个零件的加工任务，按工作效率进行分配，就能分别求出他们各自需要加工的零件数。
解：甲、乙、丙3个工人的工作效率比是：
甲、乙、丙3个工人分别加工零件：个）个）
个）答：甲应加工零件4000个，乙应加工零件3200个，丙应加工零件2000个。
2.用正比例与反比例解题。
掌握正比例、反比例的意义，熟练判断两种相关联的量之间的关系，是解答有关比例问题的关键。
例3 甲、乙两个玻璃瓶，装有酒精共520毫升。如果把甲瓶酒精的倒入乙瓶，甲、乙两瓶的酒精的比是7∶6。甲、乙两瓶原来的酒精各自是多少毫升？
分析：由于两瓶里的酒精总量不变，可以根据“如果把甲瓶酒精的倒入乙瓶，甲、乙两瓶的酒精的比是7∶6”的条件，先求出后来甲瓶的酒精量，再求出两瓶原来的酒精各自是多少毫升。
解：（1）把甲瓶酒精的倒入乙瓶后，甲瓶有多少毫升酒精？
520÷（7＋6）×7＝40×7＝280（毫升）
2）甲瓶原来有多少毫升酒精？
毫升）3）乙瓶原来有多少毫升酒精？
520－320=200（毫升）
答：甲瓶原来有320毫升酒精，乙瓶原来有200毫升酒精。
例4 一辆汽车从甲地出发开往乙地，如果把行驶速度提高20%，那么就可以比原计划提前1小时到达目的地；如果仍然以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，那么可以提前40分钟到达目的地。甲、乙两地之间的路程是多少千米？
分析与解：根据题目的条件，如果把行驶速度提高20%，那么原来与现在行驶速度的比是：
在路程一定的情况下，速度与时间成反比，那么原来与现在行驶时间的比是6∶5，由于原来行驶时间比现在多用了1小时，所以原计划行驶全程所用的时间是：
1÷（6－5）×5=6（小时）
如果把速度提高25%，那么原来与现在的行驶速度比是：
同样，在除了120千米的路程以外的路程中原来与现在的行驶时间的比是5∶4，而已知与原计划行驶的时间相比，现在少用了40分钟，所以原来行驶120千米的路程所用的时间是：
小时）甲、乙两地之间的路程是：
千米）答：甲、乙两地之间的路程是270千米。
涉及几个人的年龄及其年龄之间关系的问题就是年龄问题。年龄问题往往与和差问题、和倍问题、差倍问题交织在一起，综合性强，因此有一定的难度。解答年龄问题，关键是要抓住年龄差不变的特点进行分析，找到解答问题的方法。
年龄差不变是指在随着年龄的增长，两个人的年龄差却是一个不变的量。随着年龄的增长，年龄和在变化、两个人年龄之间的倍数关系也在变化。
例1.父亲今年48岁，儿子今年12岁。几年以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
分析：父亲与儿子的年龄差是：48－12＝36（岁），几年以后，父亲的年龄是儿子年龄的3倍，但是这个年龄差是不变的，仍然是48－12＝36（岁）。
几年以后，一方面父亲比儿子大48－12＝36（岁）；另一方面父亲的年龄比儿子大（3－1）倍，根据差倍问题的解题思路，就可以求出父亲的年龄是儿子年龄的3倍时儿子当时的年龄，从而可以求出几年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
解：（1）父亲的年龄是儿子年龄的3倍时，儿子当时的年龄是多少岁？
（48－12）÷（3－1）＝36÷2＝18（岁）
2）几年以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
18－12＝6（年）
答：6年以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
例2.姐姐今年18岁，弟弟今年12岁。当姐姐与弟弟年龄的和是50岁时，姐姐和弟弟各是多少岁？
分析：已知姐姐与弟弟的年龄，可以算出姐姐与弟弟的年龄差；不管再过几年，姐姐与弟弟的年龄差是不会变的。又已知姐姐与弟弟年龄的和是50岁，要求姐姐与弟弟的年龄，根据和差问题的解题方法就可以解答。
解：（1）姐姐与弟弟的年龄差是多少岁？
18－12＝6（岁）
2）姐姐的年龄是多少岁？
（50＋6）÷2＝28（岁）
3）弟弟的年龄是多少岁？
（50－6）÷2＝22（岁）
或：50－28＝22（岁）
答：姐姐的年龄是28岁，弟弟的年龄是22岁。
问题36：行程问题（1）
1.相遇问题。
相遇问题是研究两个人行走或者是两个运动物体同时从两地出发，相向而行，经过一段时间相遇的问题。一般涉及三个量：路程、速度和以及相遇时间，它们之间的关系是：
路程÷速度和＝相遇时间。
速度和×相遇时间＝路程。
路程÷相遇时间＝速度和。
例1.客车和货车分别从甲、乙两站相对开出，客车每小时行80千米，货车每小时行70千米。已知甲、乙两站之间的铁路长600千米，经过几小时两列车相遇？
分析：由于客车和货车分别从甲、乙两站相对开出，每过1小时，两列车就靠近（80＋70）千米，这就是两列车行驶的速度和。求出两列车的速度和以后，思考：
在600千米的路程里，有几个速度和（80＋70），就要用几小时。因此，可以列式计算出经过几小时两列车相遇。
解： 600÷（80＋70）＝600÷150＝4（小时）
答：经过4小时两列车相遇。
这道题就是相遇问题，解答的关键是理解并应用速度和进行计算，数量关系也比较单一，是相遇求相遇时间：路程÷速度和＝相遇时间，是常见的一种相遇问题。另一种相遇问题是相遇求路程、相遇求另一列火车的行驶速度。
例2.哥哥和弟弟同时从家里出发去学校，路程是1160米。哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟走90米。
当哥哥到达学校以后发现自己的文具盒没有带，立即返回，在途中与弟弟相遇。相遇时弟弟走了多少米？
分析：由于哥哥骑自行车行走的速度快，一定是先到达学校；而当哥哥到达学校以后又立即返回，在途中与弟弟相遇，这时他俩一共行走了2个从家到学校的路程。这样，也可以看作：
弟弟从家步行出发，哥哥骑自行车是从与家到学校路程相等的a处同时出发去学校，在经过学校后与弟弟相遇的，如下图所示。又已知哥哥与弟弟各自行走的速度，就可以先求出相遇时间，再求相遇时弟弟走了多少米？
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