第二讲小学数学解题的思想方法（一）
问题4：解题的思维方法“观察与实验”
观察是对事物的数学特征通过视觉获取有关信息，辨认其数量关系、空间形式以及结构关系，从而发现数学规律或性质的方法。对数学问题的解答一般都是从观察开始的，通过观察逐步认识数学对象的属性，所以观察的方法是解题思维过程中最基本的方法。我们来解答下面的数学思考题。
例1.有同样大小的红色、白色、黑色小球共90个，按先3个红色小球，后2个白色小球，最后1个黑色小球的顺序排列，如下图所示。第70个小球是什么颜色？
分析与解：通过观察可以看出，三种颜色的小球按一定的顺序排列，每6个小球可以看作一组，一组内先3个红色小球，后2个白色小球，最后是1个黑色小球。由于70÷6＝11……4，所以，第70个小球的前面有11组，它是下一组的第4个，应该是白色的小球。
实验是根据数学问题的需要，人为的创设条件，借助于具体材料或年直观模型对数学问题进行操作，获得问题解决的方法。在某种意义上讲，小学数学是实验数学和直观数学。因此，用实验的方法解小学数学题常常是一种有效的思维方法。
实验（或试验）的方法经常与观察方法相联系，观察可以用实验作基础，而实验又可以使观察更能得到问题的本质和规律性。所以，实验（或试验）的方法是解题的一种间接方法而又是一种基本方法。
在小学数学中三角形内角和的**、平行四边形等面积的计算公式的推导，都是用实验的方法（用三角形、平行四边形等纸片拼一拼、折一折或割补操作）实现的。
例2.有一块长方形硬纸，正好分成15个相同的小正方形，如下面左图所示。如果把这些小正方形剪成3份，使每份的5个小正方形相连，折起来都可以组成一个没有盖的正方体纸盒。怎样剪？
分析与解：要解决这个问题，就要知道5个相同的小正方形，怎样相连正好可以折成一个没有盖的正方体纸盒。我们可以先拿一个没有盖的正方体纸盒模型，沿几条棱剪开进行实验、观察，就可以找到问题的答案，见上面右图所示，相同划线的部分剪成一块。
这一道思考题，用操作实验的方法求解，是非常有益的。
问题5：解题的思维方法“分析与综合”
分析是把事物的整体分解成各个部分、方面或要素，并分别加以考察，以达到认识事物整体性质的一种思维方法。分析法在数学问题解决中还特指从问题入手，根据数量关系，逐步追溯问题解决的条件的思维方法，也就是“执果索因”的过程，在数学解题中又称逆推法。
例6.哪两个质数的和为40？
这是一道开放题。
这样思考：首先把问题表达为具体的加法算式，□＋40，未知数都是小于40的质数；其次找出40以内的所有质数是；再次分别确定和为40的两个质数：3与与与23，有三组。
从而完成了用分析法进行思考解题的过程。
综合是把事物的各个部分、方面或要素，有机联合成整体进行考察的思维方法。综合是从已知条件出发逐步推理求出未知的思维方法，也就是“由因导果”的过程。综合思维是一种侧重于整体性的思维，是数学求解和数学证明的基本方法。
在小学数学解题中，综合与分析是密切联系的，不可分割的。在解决问题的过程中，常在分析后进行综合。如将组合图形分解成几个简单图形并分别计算它们的面积后，再将各简单图形的面积合并起来得到组合图形的面积。
分析与综合是统一在具体的思考问题过程中，分析是综合的基础，综合是分析的合成，分析的目的是走向综合。分析侧重于探索性和发展性，而综合侧重于整理性。在具体问题的解答思维过程中，分析与综合是互相补充、相互渗透、辨证统一的两个方面。
如果思维只限于分析，那么就只能获得一些事物的枝节，不可能在思维中再现具体的整体，犹如只见树木不见森林；如果思维只限于综合，那么只能对事物有个表面的笼统的印象，不能揭示其内部联系和规律。因此，必须将两种思维方法配合使用，才能使问题很快得到解决。
例如，在解答小学数学应用题的过程中，通过读题，弄清条件与问题，对应用题有一个整体的了解，这是综合思维；在这个思维的基础上，研究已知数量与未知数量之间的关系，这就是分析思维；然后再考虑先算什么、后算什么，这又是再一次的综合思维，从而找到了解答应用题的思路和方法。
问题6：解题的思维方法“比较与分类”
选自《小学数学解题专题研究》/柴学林著，兰州：兰州大学出版社，2023年8月版）
比较是确定有关事物共同点和不同点的思维方法。人们认识事物总是在观察的基础上，区分事物并认识事物各方面的特征，而要区分事物，首先要进行比较。
在数学解题过程中使用比较的方法是多方面的。它既可以作为一种整体的思考方法，对数学问题进行把握，包括数量大小的比较、形式结构和相互关系的比较、数学性质的比较等等。又可以应用于局部的思考方法，如，在小学数学中“数位与位数”，“整除与除尽”，“质数与奇数”等概念表面看差异很小，学生在解题中常常会出现相互混淆的错误，通过比较可以认识它们间的差异点，以明确解决数学问题的方向。
分类是以比较为基础，按照事物性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。每一次的分类都应该在同一标准下进行。分类的标准要服从于解决问题的目标或观察分析问题的角度。
分类的目的是数学知识条理化、系统化。在数学解题的过程中可以采用分类方法对数学问题进行讨论、解答，是一种重要的思维方法。
在小学数学解题中，有两种分类的方法需要研究。
第一，解题方法的整理分类。这时的分类可以使整体解决数学问题条理化，提高灵活解决数学问题的能力。如，学习复合应用题以后，对应用题的解法进行分类，有代数解法和算术解法。
解题的时候，可以由条件到问题进行思考，也可以由问题到条件进行思考，还可以用**的方法进行操作。
第二，解题过程中的分域讨论的分类。这时的分类可以提高解题的条理性和正确率。
例。两根同样长的绳子，第一根截去1/4米，第二根截去它的1/4。剩下的绳子哪一根长些？
分析与解：由于绳子的长度没有告诉我们，可以设绳子的长为a米，要分三种情况进行讨论：a＝1，a＞1，a＜1。
当a＝1时，截取a的1/4就是截取1/4米，所以，两根绳子剩下的长度相等。
当a＞1时，1/4a＞1/4米，第二根绳子剪去的比第一根长，所以，第二根剩下的绳子就比第一根剩下的短。
当a＜1时，1/4a＜1/4米，第二根绳子剪去的比第一根短，所以，第二根剩下的绳子就比第一根剩下的长。
问题7：解题的思维方法“抽象与概括”
抽象是从复杂的事物中，抽取一些事物的本质属性，而舍弃非本质属性进行考察的思维方法。数学的抽象是指从所研究对象或问题中抽取数量关系或空间形式、结构关系而舍弃其它非本质属性进行考察的思维方法。如，数学概念、性质、法则、符号都是数学抽象的结果。
通过对事物、现象的观察或亲身体验进行的抽象是原始抽象。如，学生观察张开的剪刀、张开的圆规等，建立角的概念；通过买各种文具用品，获得单价、数量、总价的数量关系等。这些，都具有实际的、可观察的背景，是一种最具体的抽象。
在原始抽象的基础上形成较高层次的抽象，这种抽象称原理性抽象。它是在把握了事物之间的因果关系或规律联系后的抽象，是有层次性的。如，数的运算是由计算物体的数量抽象出来的，而式的运算又以数的运算作为对象进行的抽象。
数学抽象没有一个固定的模式，一般在分析、比较的基础上进行，其中有三个环节，即分离、提纯、简略。
概括是把抽象出来的若干事物的共同属性联合起来并推广到同一类事物上去的思维方法。人们认识事物不能只抽象出事物的若干个别特征，还需要将这些个别特征结合起来，获得事物本质和规律的认识。抽象与概括密切地联系在一起，抽象之后必定有概括。
概括的方法在解题过程中应用时，先对一个具体问题或一个数学式子的形式结构进行抽象，然后摆脱问题或数学式子的实际内容或具体内容，而只留下辨别问题或数学表达式的标志。
例。儿童服装厂要生产12000套儿童服装，原计划每月生产1500套，实际每月多生产500套，这样可提前几个月完成任务？
通过审题，理解问题的叙述内容，找出已知条件和问题，概括出应用题的数量关系：
提前月数＝原计划月数－实际完成月数。
实际完成月数＝计划总数÷实际每月生产数。
在解答应用题时通过这样的概括，使复杂的问题变得简单明了，便于找到解题的方法。
抽象与概括是密切联系、不可分割的。但抽象侧重于分析、提炼，而概括侧重于总结、联合。同时，抽象度愈高，概括性就愈强。
抽象概括与其它思维方法比较，是更高一级的思维方法。在解题过程中，通过分析、比较、抽象等思维方法，最后还要通过概括思维，总结出解题的规律和方法。
问题8：解题的思维方法“归纳与演绎”
归纳是通过对某类事物中的若干特殊情况的分析，得出一般结论的思维方法。人们认识事物的一般规律，常常是通过认识具体的、个别的对象而实现的。这种思维方法也称作由特殊到一般的思维方法。
在小学数学解题中主要表现在两个方面。
第一，应用不完全归纳法获得有关结论。不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性而得到该事物的全体也具有（或不具有）这种属性。如，当n＝1，2，3，……39时，n2＋n＋41所得的值是质数。
如果由此推出当n为任意自然数时n2＋n＋41的值都是质数”，那就不可靠了。因为n＝40时，是合数。尽管这种不完全归纳法需要经过严格证明才能确认其正确性，但这种方法符合人类认识事物的规律，更适合小学生的年龄特点，比较容易接受。
这种方法的意义更在于猜测和发现，因此它是数学创造性思维的一种基本方法，在解决问题中有极重要的作用。
第二，应用完全归纳法获得有关结论。完全归纳法是根据某类事物的每个对象都具有（或不具有）某种属性而推出该类事物的全体具有（或不具有）这种属性。如，分别通过对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积的研究，得出面积都是底乘高的一半，而三角形只有这三种，因此归纳出“三角形的面积公式是底乘高的一半”的结论。
由于这种方法考察了某类事物的所有对象，或一切特殊情况，所以得到的结论必定是正确的。
演绎是由一般性较大的前提，推出一般性较小的结论的思维方法，或称由一般到特殊的思维方法。
在小学数学中运用已学的概念、性质、法则、公式去解决数学问题常用演绎法。具体来说主要是运用“三段论”。三段论是借助于一个共同的概念，把两个性质判断联结起来，从而得出新结论的演绎法。
如：长方形是特殊的平行四边形（大前提）；正方形是特殊的长方形（小前提）；所以，正方形是特殊的平行四边形（结论）。应用三段论时，有时常用简略的形式。
例如，“因为374是偶数，所以374能被2整除”，这里省略了大前提“凡是偶数都能被2整除”。又如，“因为互质的两个数的最大公约数是1，所以3与7是互质数”。这里省略了小前提“3与7的最大公约数也是1”。
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