小学数学解题专题研

小学数学解题专题研究。

第一讲小学数学题的一般结构与解答规律。

问题1：四则运算的意义和相互之间的关系。

小学数学所涉及的运算主要是四种：加法、减法、乘法、除法，称为四则运算。另外在小学高年级教学圆的面积和立体图形的体积时，引入乘方的概念。

作为小学数学解题的基础，我们首先要搞清四则运算的意义和它们之间的关系，再理解小学数学中的一些基本数学关系。

1、四则运算的意义和相互之间的关系：

加法。把两个数合并成一个数的运算同数连加。

简便运算。由加法得到减法。

减法。已知两个加数的和与其中一个加数求另一个加数的运算。

同数连减。减法是加法的逆运算。

乘法。求几个相同。

加数的简便运算。

由乘法得到除法除法是乘法的逆运算。

除法。已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算。

2、加减法和乘除法算式中各部分之间的关系：

小学数学加减法、乘除法算式中各部分之间的关系如下，可以作为基本的数量关系。加法中：和－一个加数＝另一个加数减法中：被减数－差＝减数。

差＋减数＝被减数。

乘法中：积÷一个因数＝另一个因数除法中：被除数÷商＝除数。

商×除数＝被除数。

有余数的除法：商×除数＋余数＝被除数。

问题2：小学数学简单应用题的数量关系。

围绕小学数学四则运算的基本数量关系，根据解决问题的具体情况，以运算种类为特征，又可以对小学数学应用题进行细致的划分，进一步理解应用题的基本数量关系。在这里我们作简单介绍，供教学研究时参考。

加法的简单应用有2种。①求两个数的和。如：

小明家养灰兔6只，养白兔4只。一共养兔多少只？已知两个数：

灰兔6只，白兔4只，求这两个数的和，要用加法计算：6+4=10（只）。②求比。

一个数多几的数。如：李强家养公鸡5只，母鸡比公鸡多7只。

母鸡有多少只？已知公鸡5只，母鸡比公鸡多7只，求母鸡有多少只，就是求比5多7的数是多少。母鸡的只数可以分成两部分，一部分是与公鸡只数同样多的5只，另一部分是比公鸡多出的7只，合起来就可以算出：

5+7=12（只）。减法的简单应用3种。①求剩余。

如：小明家一共养了10只兔，白兔有4只，其余的是灰兔，灰兔有多少只？已知一共养了10只兔，白兔是4只，其余的是灰兔，求“灰兔有多少只？

”就是在10只中去掉4只，求还剩几只，用减法计算：10—4=6（只）。②求比一个数少几的数。

如：李强家养母鸡12只，养的母鸡比公鸡多7只，养公鸡多少只？求“公鸡有多少只？

”就是求比12只少7只的数：12－7=5（只）。③求两个数相差多少。

如：李强家养母鸡12只，养公鸡5只，养的母鸡比公鸡多多少只？（或养的公鸡比母鸡少多少只？

）已知两个数：母鸡12只和母鸡5只，求它们的相差数“母鸡比公鸡多多少只？”或“养的公鸡比母鸡少多少只？

”，就是用较大数减去较小数，求出相差数：12－5=7（只）。乘法的简单应用有2种。

①求几个相同加数的和。如：学习小组有5个同学，每个同学写8个大字，一共写多少个大字？

要求一共写多少个大字，就是求5个8是多少，根据乘法含义要用乘法计算：8×5=40（个）。②求一个数的几倍是多少。

如：学校有6棵杨树，柳树的棵数是杨树的3倍。柳树有多少棵？

杨树有6棵，柳树的棵数是杨树的3倍，也就是说：柳树的棵数有3个杨树的棵数那么多，也就是求3个6棵是多少棵？列式计算：

6×3=18（棵）。除法的简单应用有4种。①把一个数平均分成几份，求一份是多少。

如：学习小组有5个同学，一共写40个大字，平均每个同学写几个大字？求平均每个同学写几个大字，也就是把40平均分成5份，求每份是多少：

40÷5=8（个）。②求一个数包含几个另一个数。如：

学习小组同学一共写了40个大字，平均每个同学写8个大字，学习小组有几个同学？求学习小组有几个同学，就是把40个大字每8个分一份，有几份就有几个同学。列式计算：

40÷8=5（个）。③求一个数是另一个数的几倍。如：

学校有6棵杨树，有18棵柳树，柳树的棵数是杨树的几倍？在柳树的棵数里面有几个杨树的棵数，就是杨树的几倍。列式计算：

18÷6=3。④已知一个数的几倍是多少，求这个数。如：

学校有18棵柳树，柳树的棵数是杨树的3倍，杨树有多少棵？已知柳树有18棵，柳树的棵数是杨树的3倍，求杨树有多少棵，就是把18棵平均分成3份，每份的棵数就是杨树的棵数。列式计算：

18÷3=6。

上面的加减乘除的简单应用是以运算种类为特征的划分的，分为11种情况。如果从各部分量之间的****（内在联系）的角度思考，上面的简单应用题还可以归纳为4种数量关系。

相并关系（部分量与总量的关系）：①求两个数的和；②求剩余。

相差关系（两数相比较的关系，相差）：①求比一个数多几的数；②求比一个数少几的数；③求两个数相差多少。

份总关系（每份数与总量的关系）：①求几个相同加数的和；②把一个数平均分成几份，求一份是多少（平均除）；③求一个数包含几个另一个数（包含除）。倍数关系（两数相比较的关系，倍数）：

①求一个数的几倍是多少；②求一个数是另一个数的几倍；③已知一个数的几倍是多少，求这个数。

对以上4种数量关系11种情况从教学论的角度讲，可以作为一个研究思路，但在教学中要慎重考虑。因为对教学内容的处理过于烦琐，教学反而会增加学习负担。针对小学数学加减乘除的简单应用，只要我们在教学过程中，从一年级学生开始抓起，逐步引导学生理解基本数量关系，正确掌握解题方法就可以为数学解题以及解答复合应用题打好基础。

结合日常生活与生产实践的实际问题，在小学数学应用过程中经常用到下面的基本数量关系：单价×数量=总价；

路程÷时间=速度；

工作总量÷工作时间=工作效率。

问题3：数学问题解答的一般步骤。

1、数学解题的一般概念。

数学解题就是解决数学问题，也就是求出数学题的答案。这个答案在数学上也叫做问题的“解”。所以数学解题就是根据数学知识和数学方法，通过思维找出解的活动。

从小学生算出一道简单作业题的答案、一个教师讲完数学定理的证明，到一个数学课题的解决，甚至是一个数学技术应用于实际问题的解答过程都可以叫做数学解题。数学家的解题是一个创造和发现的过程，而在数学教学中的解题则更多的是再创造、再发现的过程。所以，数学解题教学的基本含义与意义就是：

通过典型数学题的学习、解答，掌握数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样有创造性地进行思维和解决数学问题，培养数学能力。

2、数学问题的组成。

在日常生活、生产实践和科学实验中，经常会遇到一些具体的实际问题。这些实际问题并非是数学问题。如果一个实际问题成为数学问题，都应该摈弃其它的非数学的属性或物质性，只保留反映数学方面的属性，即保留“数量关系、空间形式和结构关系”方面的性质，变成数学的抽象形式。

例如在后面将要讲到的“哥尼斯堡七桥问题”，原先并不完全以数学问题的面目出现，只是一个游戏。当数学家欧拉把它抽象为“一笔画”问题后，它就形式化地变成了一个数学问题。

数学问题一般由三部分组成：条件、运算和目标。

条件，又称作条件信息。是指数学问题已经给出的材料，包括叙述问题的情景、相关数据、关系，或者是数学问题的形态。

例1把一根长45厘米的铁丝折成一个三角形，使其三边长的比是2∶3∶4.这个三角形的三条边长分别是多少厘米？

在这里，“情景”是将铁丝折成三角形；“数据”是45厘米和三边长的比；“关系”则是对三角形三边长的比例要求；“状态”则是可以把这根铁丝按2∶3∶4.的比例折成三角形，也就是说满足几何学中三角形的性质。

运算，又称作运算信息。是指数学问题允许对条件所采取的程序化处理方式，可以是数学计算，可以是数学推理，也可以是数学操作和实验。

目标，又称作目标信息。是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么，结论是什么、结论成立与否。

3、数学问题解答的一般步骤。

数学问题的解答是以思考为基本内涵，以数学问题的目标为定向的心理活动过程。是指在社会实践或数学学习过程中，面临新的问题情境和新课题，发生主客观之间的矛盾或冲突，而又缺乏现成解决方法和对策时所引起的探求解决问题方法的心理活动。这是一种高级的心理活动，并具有某种程度的创造性。

小学数学问题解决有有一些特征。第一，数学问题解决是指初次遇到的新问题。也就是说，学生必须具有解决数学问题的意愿，并且是第一次解决这样的问题。

如果是第二次、第三次解决的同类问题，那么这个数学学习活动只能说是一种练习。第二，数学问题解决是一种进行探索、不断克服障碍的活动。它能使学生陷入一定的认知困惑状态中，有别于常规习题的解答。

例如，“根据三角。

形内角和是180°，探索多边形内角和”的问题，对于小学生来说具有探索性，而对于知道数学结论的中学生来说，就不成其为数学问题。第三，数学问题解决的心理活动既包括内部心智活动，又包括外部操作活动。如果只有内隐的操作而无外显的操作，那么这种活动就只能是一种思维。

第四，导致数学问题解决的方法和策略（包括概念、命题、法则等）的独特组合，往往会生成一种更高级的解题方法或策略。这些解决问题的经历、经验、方法和策略，都可以成为数学认知结构中的一个新的组成部分，在以后遇到同类问题、相似问题时，通过回忆与联想就可作出解答。

在数学史中，数学问题解决的过程，对于数学发展的作用不亚于问题解决的结果。例如，寻找求解五次方程一般公式的过程，导致了数论的重大发展；证明欧氏几何平行公理的各种尝试，启迪了非欧几何的创立；解答哥尼斯堡七桥问题的过程，引出了一笔画问题，导致了图论的产生。在数学学习中，问题解决的过程，对于强化已有知识的理解和掌握，对于解题策略的形成，对于能力的提高，都有显而易见的作用。

数学问题解决是一种高级形式的学习活动，它既期望获得数学问题结果，又重视获得数学问题结果的过程。

美籍匈牙利数学教育家波利亚在《怎样解题》中将解数学问题（解答题）划分为四个阶段，可以作为小学数学解题的一般步骤。

1）“弄清问题”，这是解题的起点。我们必须清楚地了解问题内容，搞清问题的主要部分。（2）“拟定计划”，这是解题的关键。

我们必须清楚理解已知条件与问题之间是的关系，结合问题目标制定一个解题计划。

3）“实现计划”，这是解题的具体表述。逐步实现制定的解题计划，认真运算，并仔细检查每一步的解题过程。

4）“回顾”，这是解题的检验、反思与推广。认真回顾所作的解题步骤，检查解题的过程，并进行讨论，如果可能的话可以将结论作适当的推广应用。

波利亚还把数学习题分为证明题和求解题两大类，并针对它们设计了“怎样解题表”并对一些数学问题的解答进行了详细的讲解。波利亚的这一解题的划分思想，比较简明、清晰，便于把握，对数学问题解决影响较大，对我们有一定的启发性。

例小学生在学习分数除以分数的计算法则时引入了一道应用题：“修路队3/4小时修路3/5千米，修路队平均每小时修路多少千米？”

第一步，弄清问题。修路队3/4小时修路3/5千米，已知修路时间和相应的修路长度，要求平均每小时修路多少千米？35千米。

小时。第二步，拟定计划。根据整数应用题的数量关系已知数与未知数之间的数量关系是：

修路长度÷修路时间=平均修路数。同时还可以这样思考：因为3/4小时修路3/5千米，因此1/4小时修了1/5千米；所以1小时修了4/5千米。

第三步，实现计划。3/5÷3/4=4/5（千米）。

第四步，回顾。由于把整数应用题的数量关系迁移到分数的应用，可以列出算式3/5÷3/4，但是如何进行分数除法计算又是一个新问题；在分析过程中，我们已经推算出结果是4/5千米，那么算式与结果之间有什么联系？我们又可以进行如下研讨：

把一个分数除以分数的计算问题转化为乘以这个分数的倒数的形式，找到了分数除以分数的计算方法。这就是通过解题的检验与反思，解决了一种运算方法问题，思维的结果也得到应用与推广。在小学数学解题中，如果解答的是应用题，其解答步骤与上面叙述的解题步骤类似。

但是为了通俗，便于学生理解和掌握，我们结合小学数学教学可以作如下的整理，在解题学习中要掌握解答应用题的一般步骤。

解答应用题的一般步骤：

1）理解题意。这是解答应用题的基础。读题（审题），摘抄（分离）已知条件和问题。

要注意克服“理解题意”中的干扰和障碍：第一，经验和知识的局限；第二，数据的干扰；第三，原有思维定势的影响；最后是学生不善于分离已知条件和问题。

2）分析数量关系。这是解答应用题的关键。分析应用题的方法有综合法、分析法和线段图示法等，我们将在后面再作专题介绍。

分析数量关系的目标是要寻找解答应用题的思路和方法。（3）列式解答。这是解答应用题的主体。

根据上面的分析与解题思路，分步列出算式并进行计算。

4）检查和书写答句。这是解答应用题的目标。认真检查分析过程，检验每一步的计算过程，确认分析正确、计算无误后，写出应用题的答句。

应用题的检验方法有估算法、多解法、代入法、编题法和比较法等等。

习题一。1、两个工程队抢修一段公路。第一队修了8.6小时，每小时修14.5米；第二队修了9.5小时，每小时修17.4米，公路全部修完，这段公路长多少米？

2、小英买了2支铅笔和8本笔记本，共用20.8元；小明买同样数量的东西，共用23.2元，铅笔和笔记本的单价各是多少？

3、服装厂原来计划做上衣2800件，每件用料2.5米。改进裁剪方法后，每件节约用料0.26米。改用新的裁剪方法，总用料不变，可以做多少件上衣？

4、现有5元和10元面值的人民币15张，共计110元，5元、10元面值的人民币各多少张？5、一个最简分数，分子、分母的积为100，求这个分数。

55252,,的大小，并用“<”连接，从中可以发现什么规律？不计算，能77272

7737399595,否用所发现的规律，比较出下列各组数的大小？（1）,；2）,8838313135135

6、比较分数：

7、用绳子量井深，三折量，井外露出3.5米，5折量，比井深短0.5米。

绳长、井深各多少？8、一支以速度为80米/分钟前进的队伍总长900米，传令兵以200米/分钟的速度跑到队伍的。

排头传达命令，那么他从队伍末尾跑到排头共需要多少分钟？

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