第一讲计算。
1.两数的乘积是整。
十、整百、整千的，要先乘。为此，要牢记下面这三个特殊的等式：
例1 计算①123×4×25125×2×8×25×5×4
2.分解因数，凑整先乘。
例 2计算① 24×25 ② 56×125 ③ 125×5×32×5
3.应用乘法分配律。
例3 计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+67
例4 计算① 123×101123×99
4.几种特殊因数的巧算。
例5 一个数×10，数后添0；
一个数×100，数后添00；
一个数×1000，数后添000；
以此类推。如：15×10=150
例6 一个数×9，数后添0，再减此数；
一个数×99，数后添00，再减此数；
一个数×999，数后添000，再减此数； …
以此类推。如：12×9＝
例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。
如：6×5＝30
例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。
如 2222×11＝244422456×11＝27016
例9 一个偶数乘以15，“加半添0”.
因为。=24×10+24×10÷2（乘法分配律）
＝24×10+24÷2×10（带符号搬家）
＝（24+24÷2）×10（乘法分配律）
例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字×（十位数字加1）×100+25
如15×15=1×（1+1）×100+25=
1.十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？
解： 1×1=1
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？ 解：２＋
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？
解：3+1=4
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
４.几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？
解：2×4=8
５.11乘任意数：
口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？
解：2+3=5
2和5分别在首尾
注：和满十要进一。
６.十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×326=？
解：13个位是3
注：和满十要进一。
三． 等差数列及其应用。
一、 知识纵横。
我们把….这样一累按一定次序排列的数叫做数列，数列中每一个数称为数列的项，第一个数叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项……最后一个数叫末项。如果每一个数列中每一项与前面一项的差都相等，那么这个数列就叫做等差数列，这个相等的差叫做这个等差数列的公差。
在等差数列计算中常常运用以下几个公式；
s表示等差数列的和；a1、an表示首项和末项，n、d表示项数和公差。
1,等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 s=(a1+an)×n÷2
2，任意项=首项+（项数-1）×公差an=a1+（n-1）×d
3，首项=末项-（项数-1）×公差a1=an-(n-1)×d
4，项数=（末项-首项）÷公差+1n=(an-a1)÷d+1
二、 典型例题。
例1、 计算1+2+3+4+……78+79+80=
例2、 写出数列….中的第四十个数。
例3、 已知一列数……80,….问：80是这列数中的第几个数？
例4、 阳光影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每一排都比前一排多两个座位。问这个剧场一共有多少个座位？
三、 自我挑战。
3、求（1+3+5+7+…+2003）-（2+4+6+8+…+2002）
四．分数求和——裂项计算。
例1 “裂差”型运算。
考点】分数裂项难度】2星题型】计算
关键词】美国长岛，小学数学竞赛。
解析】 原式。
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：
答案】例2
考点】分数裂项难度】3星题型】计算
解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，…
原式。答案】
例3考点】分数裂项难度】2星题型】计算
解析】 答案】
例4考点】分数裂项难度】2星题型】计算
关键词】2023年，101中学。
解析】 原式。
答案】例5
考点】分数裂项难度】3星题型】计算
关键词】2023年，第10届，华杯赛，总决赛，二试。
解析】 原式。
答案】例6
考点】分数裂项难度】3星题型】计算
关键词】第五届，小数报，初赛。
解析】 原式。
答案】例7
考点】分数裂项难度】3星题型】计算
解析】 首先分析出。
原式。答案】
总结：将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有。
2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五．求和——错位相减。
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
例1计算2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256等比数列。
例2计算s＝
例3求数列……前7项的和。
例4 计算： 1+2+22+23+…+29+210
分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．
解：设s=1+2+22+23+…+29+210 （1）
用2乘以上式的两边可得。
2s=2+22+23+…=210+211 （2）
用（2）式减去（1）式的两边，得。
s=（2+22+2 3+…+2 10+2 11）-（1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10）
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