2013—2014学年九年级数学（上）周末辅导资料（10）
理想文化教育培训中心学生姓名：__得分： _
一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图，在⊙o中，直径cd垂直弦ab于e点，
则有 ae垂径定理小结：⑴ 垂直弦；⑵平分弦；⑶平分弧；只要有一个结论成立，其他两个都成立。
例1：（1）如图（1）,ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab,垂足为e,如果ab=20,cd=16, 那么线段oe的长为（ ）
a、10 b、8 c、6 d、4
2）如图（2），已知⊙o的半径为5，弦ab=6，m是ab上任意一点，则线段om的长可能是（ ）
a．2.5 b．3.5 c．4.5 d．5.5
3）高速公路的隧道和桥梁最多．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以o为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（
a．5 b．7 c． d．
4）（2013广安）如图4，已知半径od与弦ab互相垂直，垂足为点c，若ab=8cm，cd=3cm，则圆o的半径为（ ）
5）如图，已知⊙o的半径为2，弦bc的长为，点a为弦bc所对优弧上任意一点（b，c两点除外）。
求∠bac的度数；
求△abc面积的最大值。
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系：
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
例2：（1）（2013常州）如图1，△abc内接于⊙o，∠bac=120°，ab=ac，bd为⊙o的直径，ad=6，则dc= ．
2）（2013内江）如图2，半圆o的直径ab=10cm，弦ac=6cm，ad平分∠bac，则ad的长为（ ）
(3) （2013宜昌）如图，dc 是⊙o直径，弦ab⊥cd于f，连接bc，db，则下列结论错误的是（ ）
图1图2图3图4
4）（2013苏州）如图4，ab是半圆的直径，点d是ac的中点，∠abc=50°，则∠dab等于（ ）
三、圆周角定理。
圆周角定理： 一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形．
圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，任何一个外角都等于它的内对角。
例3：（1）如图（1），在⊙o中，∠aob＝102°，则∠apb
2）如图（2），在⊙o中，∠aob＝100°，则∠acb
3）（2013自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙a经过原点o，并且分别与x轴、y轴交于b、c两点，已知b（8，0），c（0，6），则⊙a的半径为（ ）
a、3b、4c、4d、5
4）如图，⊙o是△abc的外接圆，连结ob、oc，若ob=bc，则∠bac等于___
5）（2013株洲）已知ab是⊙o的直径，直线bc与⊙o相切于点b（即∠abc=90°），abc的平分线bd交⊙o于点d，ad的延长线交bc于点c．
1）求∠bac的度数； （2）求证：ad=cd．
四、巩固练习：
1、（2013嘉兴）如图，⊙o的半径od⊥弦ab于点c，连结ao并延长交⊙o于点e，连结ec．若ab=8，cd=2，则ec的长为（ ）
2、（2013绥化）如图，点a，b，c，d为⊙o上的四个点，ac平分∠bad，ac交bd于点e，ce=4，cd=6，则ae的长为（ ）
3、（2013株洲）如图ab是⊙o的直径，∠bac=42°，点d是弦ac的中点，则∠doc的度数是度．
图i图2图3
4、如图，ab是⊙o的一条弦，od⊥ab，垂足为c，交⊙o于点d，点e在⊙o上。
（1）若∠aod=52°，求∠deb的度数；（2）若oc=3，oa=5，求ab的长。
5、如图，⊙o是△abc的外接圆，且ab=ac，点d在弧bc上运动，过点d作de∥bc，de交ab的延长线于点e，连结ad、bd．
1）求证：∠adb=∠e；（2）当ab=5，bc=6时，求⊙o的半径．
6、（2013资阳）在⊙o中，ab为直径，点c为圆上一点，将劣弧沿弦ac翻折交ab于点d，连结cd．
1）如图1，若点d与圆心o重合，ac=2，求⊙o的半径r；
2）如图2，若点d与圆心o不重合，∠bac=25°，请直接写出∠dca的度数．
7、（2013温州）如图，ab为⊙o的直径，点c在⊙o上，延长bc至点d，使dc=cb，延长da与⊙o的另一个交点为e，连接ac，ce．
1）求证：∠b=∠d；（2）若ab=4，bc﹣ac=2，求ce的长．
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