2024年秋季九年级数学期末综合卷。
考试时间：120分钟总分：150分）
班级___第___小组姓名成绩。
1、选择题（每小题3分，共21分，每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确）．
1．下列根式是最简二次根式的是（ ）
ab． cd．
2.“从布袋中取出一个红球的概率为0”，这句话的含义是（ ）
a． 布袋中红球很少 b．布袋中没有球。
c．布袋中没有红球 d．布袋中的球全是红球。
3.一元二次方程的根是（ ）
a． b． c． d．
4．在rt△abc中，若，则∠a的度数是（ ）
a．30b． 45c．60d．90°
5. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
a． b． c． d．
6．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是（ ）
a.矩形 b.菱形 c.正方形 d.等腰梯形。
7．如图，已知∠acb＝∠cbd＝90°，ac＝8，cb＝2，要使图中的两个直角三角形相似，则bd的长应为（ ）
a. b.8 c.2 d.
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
8．当时，二次根式有意义．
9．比较大小选填。
10．一元二次方程的解为。
11．若，则。
12. 在△abc中，d、e分别为ab、ac的中点，de=5，则bc= .
13．若两个三角形的相似比为3：5，则这两个三角形对应角平分线的比为。
14. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元．
已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为。
15．如图，点是△abc的重心，若，则 .
16．在rt△中，，，则。
17. 阅读材料：设一元二次方程(≠0)的两根为，，则两根与方程的系数之间有如下关系： +根据该材料完成下列填空：
已知，是方程的两根，则。
三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
18．（9分）计算：．
19．（9分）解方程：．
20．（9分）如图，△abc在坐标平面内三个顶点的坐标分别为。
a（1，2）、b（3，3）、c（3，1）．
根据题意，请你在图中画出△abc；
在原图中，以b为位似中心，画出△使它与△abc位似且相似比是3：1，并写出顶点a′和c′的坐标．
21．（9分）如图，在某校办公楼ac前，挂着“多做贡献——教育为先；争当榜样。
—育人为本”的宣传条幅ab,在距楼底c处15米的地面上一点d,测得条幅。
顶端a的仰角为，条幅底端b的仰角为，求宣传条。
幅ab的长度。（计算结果精确到0.1米。
22．(9分)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四枚围棋子，它们除颜色外无其他区别。
1）随机地从盒子中取出1枚，则取出的是白子的概率是多少？
（2）随机地从盒子中取出1枚，不放回再取出第二枚，请用画树状图或列表的方式表示出所有等可能的结果，并求出恰好取到“两枚棋子颜色不相同”的概率是多少？
23．(9分) 如图，平行四边形abcd，de交bc于f，交ab的延长线于e，且∠edb=∠c.
1）求证：△ade∽△dbe;
2)若de=9cm，ae=12cm，求dc的长。
24．(9分) 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45米），用总长80米的篱笆围一个矩形场地．
1）设所围矩形abcd的边ab为x米，则边ad为多少米（用含x的代数式表示）；
2）若围成矩形场地的面积为750米2，求矩形abcd的边ab、ad各是多少米？
25.（13分）如图，已知△abc是边长为6cm的等边三角形，动点p、q同时从a、b两点出发，分别沿ab、bc方向匀速运动，其中点p运动的速度是1cm/ s，点q运动的速度是2cm/s，当点q到达点c时，p、q两点都停止运动。设运动时间为t(s)，解答下列问题：
1）当t为何值时，△bpq为直角三解形；
2）设△bpq的面积为s(cm2)，求s与t的函数关系式；
3）作qr∥ba交ac于点r，连结pr，当t为何值时，△apr∽△prq？
26、（13分）已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点a和点b，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点m在直线ab上，且抛物线与直线ab的另一个交点为n．
1）如图，当点m与点a重合时，求：
抛物线的解析式；
点n的坐标和线段mn的长；
2）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线ab上平移，是否存在点m，使得△omn与△aob相似？若存在，直接写出点m的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）①∵直线y=2x﹣5与x轴和y轴交于点a和点b，，b（0，﹣5
解法一：当顶点m与点a重合时，∴．
抛物线的解析式是：．即．
解法二：当顶点m与点a重合时，∴．b=5．
又∵，∴抛物线的解析式是。
∵n在直线y=2x﹣5上，设n（a，2a﹣5），又n在抛物线上，解得 ，（舍去）
过n作nc⊥x轴，垂足为c．，∴
nc=4． ．
2）∵，b（0，﹣5
oa=，ob=5，直线ab的解析式是：y=2x﹣5，则ob=2oa，ab==2，当om⊥ab时，直线ab的解析式是：y=﹣x，解方程组：，解得：，则m的坐标是（2，﹣1）；
当on⊥ab时，n的坐标是（2，﹣1），设m的坐标是（m，2m﹣5）则m＞2，mn=2，（m﹣2）2+（2m﹣5+1）2=（2）2解得：m=4，则m的坐标是m（4，3）．
故m的坐标是：（2，﹣1）或（4，3）．
25．（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 ab在x轴上，直角顶点c在y轴正半轴上，已知点a（－1，0）．
（1）请直接写出点b、c的坐标：bc并求经过a、b、c三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板def（其中∠edf=90°，∠def=60°），把顶点e放**段ab上（点e是不与a、b两点重合的动点），并使ed所在直线经过点c． 此时，ef所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点m．
①设ae=x，当x为何值时，△oce∽△obc；
②在①的条件下**：抛物线的对称轴上是否存在点p使△pem是等腰三角形，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）b（3，0），c（02分（每个点的坐标1分）
解：法1：设过a、b、c三点的抛物线为，则……3分。
a（—1，0）b（3，0）
4分。又∵c（0，）在抛物线上。
即……5分(结果未化为一般式不扣分)
法2：设过a、b、c三点的抛物线为，则 ……3分。
a（—1，0）b（3，0）c（0，）在抛物线上。
4分 5分。
2）①解：当△oce∽△obc时，则 ……6分。
oe=ae—ao=， ob=3 ……7分。
当时，△oce∽△obc．……8分。
2）②解：存在点p. 理由如下：
由①可知 ∴oe=1 ∴e（1，0）
此时，△cae为等边三角形。
aec=∠a=60°
又∵∠cem=60° ∴meb=60° …9分。
点c与点m关于抛物线的对称轴对称。
c（0，）m
过m作mn⊥轴于点n（2，0）
mn= en=1
em10分。
若△pem为等腰三角形，则：
)当ep=em时，
∵em=2，且点p在直线上。
∴p(1，2)或p(1，—2)
当em=pm时，点m在ep的垂直平分线上。
p(1，2当pe=pm时，点p是线段em的垂直平分线与直线的交点。
p(1，)综上所述，存在p点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，）或（1，）时，△epm为等腰三角形． …14分(未进行本小结不扣分)
②解： 存在点p. 理由如下：
由①可知 ∴oe=1 ∴e（1，0）
此时，△cae为等边三角形。
aec=∠a=60°
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