线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为：
找一状态反馈控制律：，使得二次型性能指标最小化：
其中，为系统的状态变量；、为起始时间与终止时间；为终态约束矩阵；为运动约束矩阵；为约束控制矩阵。其中、决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。
为使最小，由最小值原理得到最优控制为：
式中，矩阵为微分riccatti方程：的解。
如果令终止时间，为一个常数矩阵，且，因此以上的riccatti方程简化为。
对于最优反馈系数矩阵，使用matlab中专门的求解工具lqr()来求取。将lqr控制方法用于倒立摆控制的原理如下图所示。
图25 lqr设计原理框图 1
用matlab求解lqr(a, b, q, r)可以求出最优反馈系数矩阵的值。lqr函数需要选择两个参数和，这两个参数是用来平衡输入量和状态量的权重。改变矩阵 q 的值，可以得到不同的响应效果，q 的值越大(在一定的范围之内)，系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。
其中，代表摆杆角度的权重，而是小车位置的权重。这里选择：
r=1;方法一：加入反馈阵k求其阶跃响应(matlab):
响应曲线如下图所示：
图26 闭环响应曲线 1
系统超调量基本满足要求，稳态误差不大，但上升时间，稳态时间过大，需从新校正，加大加权矩阵q的值。经不断**发现，当。
系统响应效果较好，效果如下：
图27 调整q后的闭环阶跃响应曲线 1
如上图所示，系统响应速度加快，上升时间，调节时间减小，满足设计要求；
方法二：simulink**。
图28 lqr_simulink**图 1
当 r=1时，系统阶跃响应曲线如下所示：
系统超调量基本满足要求，稳态误差不大，但上升时间，稳态时间过大，需从新校正，加大加权矩阵q的值。经不断**发现，当。
此时，k=[ 22.3607 -23.9010 145.7621 46.3942]
更改simulink**图中相应的k值，运行后结果如下：
调整q后，其响应动态特性均能满足要求。
自控课程设计之五
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