1. (10分) 求抛物线与其上一点处的法线围成的平面图形的面积。
解：先求出抛物线在点处的法线方程。
2分。所求的法线方程为，即3分。
则法线与抛物线的两个交点分别为2分。
于是所围平面图形的面积为。
3分。2. (10分) 半径为r(单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？
解：取坐标系如图，考察区间所对应的。
小薄层，此薄层水重为(吨)，将此层。
水提高到水池外面的距离是，因此所作的微功为。
6分。要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为。
吨。米4分。
3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h（千米/时）.
假设减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
解：由题设知 m=9000 kg，着陆时的水平速度km/h，从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机滑行的距离为x(t)，速度为v(t2分。
根据牛顿第二定律知 ，所以2分。
两端积分得通解，代入初始条件，解得，故。--3分。
飞机滑行的最长距离为3分。
或由知，,故最长距离为。
当时。4. (10分) 求微分方程的通解。
解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以对应齐。
次方程的通解为3分。
下面分别求与的特解。
设方程的特解为，代入方程得，所以1分。
为求的特解，先求方程的一个特解，为此设特解为，代入方程消去得，所以
2分。即的特解为1分。
所以原方程的特解为1分。
所求微分方程的通解为2分。
5．(10分)求过点且与两个平面和的交线平行的直线的方程。
解：所求直线的方向向量为两已知平面法向量的叉积2分。
平面的法向量为1分。
平面的法向量为1分。
则所求直线的方向向量为3分。
由于直线过点，故所求的直线方程为3分。
6. (10分)求母线平行于轴且通过曲线的柱面方程和曲线在yoz平面上的投影曲线的方程，并求曲线绕轴旋转曲面方程，并指出该旋转曲面方程表示的是哪种曲面，画出它的简图。
解：从上述两方程消去便得到母线平行于轴的柱面方程。
3分。曲线在yoz平面上的投影曲线方程为2分。
绕轴旋转曲面方程为4分。
此曲面称为(旋转)单叶双曲面1分。
7．(10分) 设二元函数具有二阶连续的偏导数，,求的偏导数与二阶偏导数。
解2分。由于互换x，y不改变u，v，从而不改变，所以是对称函数。
从而由全微分形式的不变性得1分。
2分。整理得。
所以得到。2分。
2分。互换x，y后变得。
1分。8. (10分) 求曲线在点处的切线方程和法平面方程。
解：记2分。
则2分。2分。
2分。故所求的切线方程为，法平面为2分。
9．(10分)设函数，(1)求函数在点指向的方向。
导数 ;(2)问函数在处沿什么方向的方向导数最大？它的最大值是多少？
解：(12分。
2分。故2分。
2) 沿点处梯度方向的方向导数最大，而---2分。
故2分。10．(10分) 求函数的极值。
解：令，得驻点4分。又 3分。
因为 ，所以2分。
在处取得极小值1分。
2019级第二学期高等数学期中试卷
1.10分 求抛物线与其上一点处的法线围成的平面图形的面积。2.10分 半径为r 单位为 米 的半球形水池充满了水 单位为 吨 要把池内的水全部吸尽，需作多少功？3.10分 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为90...
2019级高等数学期中试卷
1 求下列函数的极限 每小题4分，共16分 2 求下列数列的极限 每小题4分，共8分 3 10分 设数列满足，1 试证明此数列极限存在，并求出 2 试求。4 10分 求函数的间断点，并判断其类型。5 6分 求函数的导数和微分。6 10分 已知，试求。7 10分 已知在处可导，试求出和。8 10分 设...
2019级高等数学期中试卷
2008级第二学期高等数学 a类 期中考试试题 2009.4.18 一 求下列积分 每题5分，共10分 二 10分 当k为何值时，反常积分收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k为何值时，这反常积分取得最小值？三 10分 证明 m为正整数，并求的积分值。四 10分 设摆线一拱的参数方程，求 摆线...