1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）
5）设连续，且，求。解：（1）
3）因为，且，由夹逼定理，所以。
4）令， 5）由题设条件和得，其中。
2．（10分）设数列满足，，证明此数列极限存在，并求出。
证1：显然数列满足，所以有界，只需证明单调即可。
假设，则，即，由归纳法假设知单调增加，故数列收敛。
由得，解得。（由于负根舍去）
证2：假设此数列收敛，并设，由极限的运算法则，在的两端取极限。
得，解得，（由于负根舍去）
由夹逼定理得。
证3：令，，所以递归数列单调，且显然有界，所以。
数列收敛，则在等式两端取极限，得，解得。（由于负根舍去）
3．（10分）讨论函数的连续性，并对间断点判断其类型。
解：在内是初等函数，在点处无定义，不存在且无穷振荡；
在内，在点处无定义，且，但。
在点处， 综上所述，是函数的振荡间断点；是函数的可去间断点；是函数的跳跃间断点；是函数的无穷间断点；除这些点外都连续。
4、 （10分）设在上有定义且周期为2的奇函数。已知时，求当时，的表达式。
解：由于是奇函数，且在处有定义，所以，当时，又有函数的周期性，当时，有，则。
当时，有，则。
再由周期性，，，所以，从而，，故。
5．（12分）求下列函数的导数。
解：（1），
2），其中
所以。6．（5分）已知且，求。
解：.7．（10分）已知，试求。
解：由莱布尼兹高阶求导数公式。
8．（10分）已知在处有二阶导数，试确定参数的值。
解：首先在处连续，则由得；，因为在处可导，则，因而；
又有在处二阶可导，由得。
9．（10分）设函数的极坐标式为，求。
解：将化为参数方程 ，得，（为参数）
故，.10．（10分）设函数由方程所确定，其中具有二阶可导，且，求当时的。
解：两边取对数有，两边对求导，得，解得。
11．（10分）选做题以下两题任选其一（仅做一题）
1）设在上连续，在上可导，且，若，证明对任意实数k，存在点，使得。
2）设函数在区间上连续可导，，且，证明：存在，使得。
1) 证明：构造辅助函数，则在上满足罗尔定理的条件，故存在使得，即。
2) 证明：不妨设，若，则取，显然成立。
若，再设，则有。
即， 又因为在区间上连续，因而也在上连续，由连续函数的介值定理，存在，使得。
附加题（10分）
设在上连续，在内可导，且试证在内存在不同的，满足。
证：因为由连续的介值定理知，存在使得，在上分别应用拉格朗日中值定理得。
所以 两式相加便得
即，故有。
2019级高等数学期中试卷答案
1 求下列函数的极限 每小题4分，共16分 5 设连续，且，求。解 1 3 因为，且，由夹逼定理，所以。4 令，5 由题设条件和得，其中。2 10分 设数列满足，证明此数列极限存在，并求出。证1 显然数列满足，所以有界，只需证明单调即可。假设，则，即，由归纳法假设知单调增加，故数列收敛。由得，解得。...
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2019级高等数学期中试卷
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