2011级高等数学上册期中试卷。
一。填空题（每个空格4分，本题满分36分）
1．就奇偶性而言，函数是函数；其导函数是函数；
2．函数的全部间断点及其类型分别为 ；
4．已知，则。
6．已知曲线和在点处相切，则。
7．函数在点处可导，且，则当时，无穷小与的比较结果是。
8．下面四个论述中正确的是 ；
1)若，且数列单调递减，则数列收敛，且其极限2)若，且数列收敛，则其极限。
3)若，则
4)若，则存在正整数，当时，都有。
9．函数在处的带lagrange余项的一阶taylor公式为。
二。计算题（本题满分36分）
10．（6分11. （6分）
12．（6分）设，求。
13. （6分）设，求。
14.（6分）设函数在点处有定义，，且，求。
15.（6分）设其中满足方程函数均二阶可导，求。
三(16). 10分) 讨论函数的单调性，并求方程的不同实根的个数，其中为参数。
四(17)．(8分) （1）设，证明：；
2）设，证明：.
五(18)．(10分) （1）设函数在区间上可导，证明：对于任意的，都存在，使得 ；
2）设在区间[0,1]上连续，在(0，1)内可导，且，证明：.存在不同的，使得。
2011级高等数学（上册）期中试卷答案。
一。填空题（每个空格4分，本题满分36分）
1．奇；偶 2．
三。计算题（本题满分38分）
10．（7分11. （6分）
12．（6分），
13. （6分）
14).（7分）
即：.15).（7分）
三(16). 10分) 令，则是上的奇函数，且。
当≤0即≤1时，在内单调减少。
当＞0即＞1时，在内，单调增加；在内，单调减少。
当≤0即≤1时，在内单调减少，又方程只有一个实根。
由于是在内的最大值，由于，所以。
又因为，所以存在，使得。
由是奇函数及其单调性可知：当时，方程有且仅有三个不同实根
四(17)．(10分) （1）利用单调性证明。令， 从而。
2）当时，显然成立；
当时，取，利用（1）可得：；
当时，取，利用（1）可得：。
五(18)．(10分)（1）
法i:令，，用罗尔定理得证。
法2: 令，，用柯西中值定理证。
法3: 令，用拉格朗日中值定理证。
2）由于在区间[0,1]上连续，，由介值定理，存在，且，使得，在上分别用拉格朗日定理得：存在不同的，使得。故
南理工2019级高数第一期中试卷 附答案
2011级高等数学上册期中试卷。一。填空题 每个空格4分，本题满分36分 1 就奇偶性而言，函数是函数 其导函数是函数 2 函数的全部间断点及其类型分别为 4 已知，则。6 已知曲线和在点处相切，则。7 函数在点处可导，且，则当时，无穷小与的比较结果是。8 下面四个论述中正确的是 1 若，且数列单调...
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