南理工2019级高数第一期中试卷 附答案

发布 2022-09-24 22:22:28 阅读 1029

2011级高等数学上册期中试卷。

一。填空题(每个空格4分,本题满分36分)

1.就奇偶性而言,函数是函数;其导函数是函数;

2.函数的全部间断点及其类型分别为 ;

4.已知,则。

6.已知曲线和在点处相切,则。

7.函数在点处可导,且,则当时,无穷小与的比较结果是。

8.下面四个论述中正确的是 ;

1)若,且数列单调递减,则数列收敛,且其极限2)若,且数列收敛,则其极限。

3)若,则

4)若,则存在正整数,当时,都有。

9.函数在处的带lagrange余项的一阶taylor公式为。

二。计算题(本题满分36分)

10.(6分11. (6分)

12.(6分)设,求。

13. (6分)设,求。

14.(6分)设函数在点处有定义,,且,求。

15.(6分)设其中满足方程函数均二阶可导,求。

三(16). 10分) 讨论函数的单调性,并求方程的不同实根的个数,其中为参数。

四(17).(8分) (1)设,证明:;

2)设,证明:.

五(18).(10分) (1)设函数在区间上可导,证明:对于任意的,都存在,使得 ;

2)设在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,证明:.存在不同的,使得。

2011级高等数学(上册)期中试卷答案。

一。填空题(每个空格4分,本题满分36分)

1.奇;偶 2.

三。计算题(本题满分38分)

10.(7分11. (6分)

12.(6分),

13. (6分)

14).(7分)

即:.15).(7分)

三(16). 10分) 令,则是上的奇函数,且。

当≤0即≤1时,在内单调减少。

当>0即>1时,在内,单调增加;在内,单调减少。

当≤0即≤1时,在内单调减少,又方程只有一个实根。

由于是在内的最大值,由于,所以。

又因为,所以存在,使得。

由是奇函数及其单调性可知:当时,方程有且仅有三个不同实根

四(17).(10分) (1)利用单调性证明。令, 从而。

2)当时,显然成立;

当时,取,利用(1)可得:;

当时,取,利用(1)可得:。

五(18).(10分)(1)

法i:令,,用罗尔定理得证。

法2: 令,,用柯西中值定理证。

法3: 令,用拉格朗日中值定理证。

2)由于在区间[0,1]上连续,,由介值定理,存在,且,使得,在上分别用拉格朗日定理得:存在不同的,使得。故

南理工2019级高数第一期中试卷 附答案

2011级高等数学上册期中试卷。一。填空题 每个空格4分,本题满分36分 1 就奇偶性而言,函数是函数 其导函数是函数 2 函数的全部间断点及其类型分别为 4 已知,则。6 已知曲线和在点处相切,则。7 函数在点处可导,且,则当时,无穷小与的比较结果是。8 下面四个论述中正确的是 1 若,且数列单调...

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