2019级高等数学期中试卷答案

发布 2022-09-24 22:26:28 阅读 4567

1.求下列函数的极限:(每小题4分,共16分)

5)设连续,且,求。解:(1)

3)因为,且,由夹逼定理,所以。

4)令, 5)由题设条件和得,其中。

2.(10分)设数列满足,,证明此数列极限存在,并求出。

证1:显然数列满足,所以有界,只需证明单调即可。

假设,则,即,由归纳法假设知单调增加,故数列收敛。

由得,解得。(由于负根舍去)

证2:假设此数列收敛,并设,由极限的运算法则,在的两端取极限。

得,解得,(由于负根舍去)

由夹逼定理得。

证3:令,,所以递归数列单调,且显然有界,所以。

数列收敛,则在等式两端取极限,得,解得。(由于负根舍去)

3.(10分)讨论函数的连续性,并对间断点判断其类型。

解:在内是初等函数,在点处无定义,不存在且无穷振荡;

在内,在点处无定义,且,但。

在点处, 综上所述,是函数的振荡间断点;是函数的可去间断点;是函数的跳跃间断点;是函数的无穷间断点;除这些点外都连续。

4、 (10分)设在上有定义且周期为2的奇函数。已知时,求当时,的表达式。

解:由于是奇函数,且在处有定义,所以,当时,又有函数的周期性,当时,有,则。

当时,有,则。

再由周期性,,,所以,从而,,故。

5.(12分)求下列函数的导数。

解:(1),

2),其中

所以。6.(5分)已知且,求。

解:.7.(10分)已知,试求。

解:由莱布尼兹高阶求导数公式。

8.(10分)已知在处有二阶导数,试确定参数的值。

解:首先在处连续,则由得;,因为在处可导,则,因而;

又有在处二阶可导,由得。

9.(10分)设函数的极坐标式为,求。

解:将化为参数方程 ,得,(为参数)

故,.10.(10分)设函数由方程所确定,其中具有二阶可导,且,求当时的。

解:两边取对数有,两边对求导,得,解得。

11.(10分)选做题以下两题任选其一(仅做一题)

1)设在上连续,在上可导,且,若,证明对任意实数k,存在点,使得。

2)设函数在区间上连续可导,,且,证明:存在,使得。

1) 证明:构造辅助函数,则在上满足罗尔定理的条件,故存在使得,即。

2) 证明:不妨设,若,则取,显然成立。

若,再设,则有。

即, 又因为在区间上连续,因而也在上连续,由连续函数的介值定理,存在,使得。

附加题(10分)

设在上连续,在内可导,且试证在内存在不同的,满足。

证:因为由连续的介值定理知,存在使得,在上分别应用拉格朗日中值定理得。

所以 两式相加便得

即,故有。

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