2008级第二学期高等数学(a类)期中****
一、(15分) 设摆线一拱的参数方程，求：
摆线的弧长；②与轴所围成的图形的面积；③绕轴旋转所成的旋转体的体积。
解：①从而。
5分）5分）
5分）二、(10分)设证明这三个向量共面，并用的线性组合表示。
解：共面（5分）。令求得，从而（5分）
三、(10分) 问旋转曲面是怎样形成的？求它与平面的交线在面上的投影方程。
解：此旋转曲面是由面上的椭圆绕轴旋转一周而得到的。（5分）
由，消去，得，即，因此此交线在面上的。
投影方程为。（5分）
四、(10分) 求过点(0,2,4)且与两平面和平行的直线方程。
解：平面的一法向量，平面的一法向量。（4分）根据题意，所求直线的一方向向量，（4分）故得其方程为。（4分）
五、(10分) 求微分方程的特解。
解：通解为，（6分）又。
由初始条件得（2分）故所求的特解。（2分）
六、(10分) 求微分方程的通解。
解：特征方程为解得其特征根为。（2分）
现先求原微分方程的一特解。因为不是特征根，所以可令一特解为，代入微分方程，得。故微分方程的一特解为。（2分）
从而当时，有两相等的特征根，方程的通解为；（3分）
当时，有一对共轭复根，方程的通解为（3分）
七、(10分) 设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明。
证明：方法一。
依据题意，方程确定了函数，由隐函数求导公式，得。（4分）
另外，方程确定了函数，在此方程两边对求导，得。
4分）因此，。（2分）
方法二。由，得；（2分）由，得。（2分）联立方程，有。
消去，得，（4分）因此。（2分）
八、(10分) 设函数且有方程。
1）验证在点近旁由方程①式能确定可微的隐函数。
2）试求。解：（1）令，则从而。
函数的一阶偏导数连续并且由隐函数存在定理，故在点近旁由方程①式能确定可微的隐函数（5分）
2）（5分）
九、(15分)设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的闭区域为，小山的高度函数为。
1） 设，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式；
2） 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，也就是说，要在d的边界线上找出（1）中达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。
解：（1）。
对，在该点沿梯度方向的方向导数最大，其值为。
。（4分）2）依据题意，问题转化为求在限制条件下的条件最值。
引进拉格朗日函数，由。
解得所有可能极值点为。（7分）
因为曲线是封闭的，在d上连续，所以最大值只能在这。
些点中取得。（2分）
又，，比较得，在边界线上的点或处，达到最大值，因此确定攀岩起点的位置应为点或。（2分）
2019级高等数学期中试卷答案
1 求下列函数的极限 每小题4分，共16分 5 设连续，且，求。解 1 3 因为，且，由夹逼定理，所以。4 令，5 由题设条件和得，其中。2 10分 设数列满足，证明此数列极限存在，并求出。证1 显然数列满足，所以有界，只需证明单调即可。假设，则，即，由归纳法假设知单调增加，故数列收敛。由得，解得。...
2019级高等数学期中试卷答案
1 求下列函数的极限 每小题4分，共16分 5 设连续，且，求。解 1 3 因为，且，由夹逼定理，所以。4 令，5 由题设条件和得，其中。2 10分 设数列满足，证明此数列极限存在，并求出。证1 显然数列满足，所以有界，只需证明单调即可。假设，则，即，由归纳法假设知单调增加，故数列收敛。由得，解得。...
2019级高等数学期中试卷
1 求下列函数的极限 每小题4分，共16分 2 求下列数列的极限 每小题4分，共8分 3 10分 设数列满足，1 试证明此数列极限存在，并求出 2 试求。4 10分 求函数的间断点，并判断其类型。5 6分 求函数的导数和微分。6 10分 已知，试求。7 10分 已知在处可导，试求出和。8 10分 设...