第一讲导数的概念。
一、 导数的概念。
1．问题的提出。
引例1 变速直线运动的瞬时速度。
设一物体作变速直线运动，其运动规律为。
从到这一段时间内，物体所经过的路程为，如图。
平均速度：
平均速度的大小反映在这段时间内物体运动快慢的平均程度。随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬时速度。例如，研究子弹的穿透能力，必需知道弹头接触目标时的瞬时速度。
瞬时速度：物体运动的瞬时速度是路程的增量与时间的增量之比当趋于零时的极限。
引例2 曲线在点处的切线的斜率。
如图，设和是曲线上的两点，其中，为定点，为动点，过、两点的直线称为此曲线的割线，其斜率为
变小时，点沿着曲线向点靠近，割线绕着点转动。当时，点就无限趋近于，而割线就无限趋于它的极限位置（如果极限位置存在）。此时，我们称直线为曲线在点处的切线。
定点称为切点。此时割线的倾斜角的极限就是切线的倾斜角。如果割线的斜率存在，则割线斜率的极限就是切线的斜率，即
曲线在点处的切线的斜率就是曲线在点处纵坐标的增量与横坐标的增量之比当趋于零时的极限。
2．导数的定义。
定义设函数在点及其附近有定义，当自变量在处有增量时，函数有相应的增量 。若当时，的极限存在，则称此极限为函数在处的导数，并称函数在点处可导（或有导数），记为，即。
也可记为 ， 如果极限不存在，就说函数在点处不可导。如果不可导的原。
因是由于时，比式，则称函数在点处的导数为无穷大。
若函数在区间内每一点处都可导，则称函数在区。
间内可导。此时函数对每个，都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了的一个新函数，称这个新函数为函数对的导函数，记为，，或。
它的计算公式为 。
而函数在点的导数就是导函数在点处的函数值，即 。
3．左、右导数。
极限与分别称为函数在点处的左导数和右导数，且分别记作及。
由极限知识可知，函数在点的左右导数存在且相等是函数在点可导的充要条件。
在不引起混淆的情况下，导函数也简称为导数。
根据导数的定义，前面讨论的实例可作如下叙述：
1）作变速直线运动的质点的运动方程在时刻的导数便是质点在该时刻的瞬时速度，即。
（2）函数在点处的导数表示曲线在点处的切线的斜率，即。
导数在电学中有很多实际运用。如在电学中，功率定义为功关于时间的变化率，即，电路中，电感元件的电流与两端的电压关系为（其中为自感系数）。在运动学中，若物体的运动方程为，则物体在时刻的瞬时速度为路程对时间的变化率，即，又因为加速度是速度关于时间的变化率，故物体在时刻的加速度为。
二、求导数的一般步骤。
根据导数的定义可得，求函数在给定点处的导数的一般步骤为：
1）求函数的增量；
2）求比值；
3）取极限，即。
例1 求常值函数（为常数）的导数。
解 （1）求函数的增量；（2）求比值 ；
3）求极限 。
即。例2 求函数的导数。
解（1）求增量
2）求比值 ；
3）求极限。
即。用类似的方法，可求得 。
例3 求函数（为正整数）的导数。
解（1）求增量由二项式定理有。
2）求比值
3）求极限
即 （为正整数）。
一般地，对于幂函数（其中为任意实数），可得。
例如，；。例4 求函数的导数。
解（1）求增量
2）求比值 ；（3）求极限
即。特别地，当时，有。
例5 求下列函数的导数。
解 （1）；
三、导数的几何意义。
函数在点处的导数是曲线的点。
处的切线的斜率，即 。
从而曲线上点处切线方程为；
过切点与切线垂直的直线称为曲线在点处的法线，法线方程为
例6 求抛物线在点处的切线方程和法线方程。
解因为，由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为。
故切线方程为即
法线方程为即
四、函数的可导性与连续性的关系。
定理如果函数在点处可导，则函数一定在点处连续。
证明因为在点处可导，所以，由于时，故。由函数连续的定义可知，函数在点处连续。
例7 证明函数在处连续但不可导。
证明当自变量处有增量时，相应地函数有增量 ，且，所以处连续。但。
于是 ，所以不存在，即函数在处不可导。从几何上看，曲线在原点没有切线（如图）。
例8 证明在点连续但不可导。
解因为的定义域为，而是基本初等函数，所以在连续。
又因为当自变量在处有增量时，相应地函数也有增量 ，于是，因此，函数在处不可导。但从图看出，函数在处切线存在，即轴就是这条切线。
本课小结：本次课通过两个实例得出了导数的定义，根据导数的定义得到了求导数的三个步骤：求增量；算比值；取极限。
由导数定义推出几个基本函数的导数公式：；；同学们要孰记这些公式，在以后的学习中经常用这些公式。还学习了导数的几何意义以及可导与连续的关系。
本课作业：1．将一物体竖直上抛，其运动方程为，试求：
1）秒至秒末这段时间内的平均速度；
2）在秒、秒末的速度；
3）物体在到这段时间内的平均速度；
4）物体在末的速度。
2．设有一随时间而变化的电流，从到这段时间内通过导体的电量为，求第秒末的电流强度，并求在什么时刻电流强度可达到（）。
3．求下列函数的导数：
4．设，求和。
5．求曲线在点处的切线方程和法线方程。
第二讲导数的运算法则。
一、导数的四则运算法则。
定理1 设函数，在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在点处可导，且有以下法则。
特别地， （c为常数）；
特别地， 。
说明：定理1中的（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形。如设均可导，则有。
下面给出法则（2）的证明，法则（1）、（3）的证明从略。
证明设，给以增量，相应的函数，各有增量与。
1）求增量：
2）求比值： ；
3）取极限：由于与在点处可导，所以，又函数在点处可导，就必在处连续，因此。
从而 这就是说，也在点处可导，且有。
例1 已知，求。
解 例2 设，求及。
解 例3 设，求。
解 。例4 设（1）；（2），求。
解 （1）即。
用类似的方法可得 。
即。类似地可得 。
例 5 求曲线在点处的切线和法线方程。
解因为，所以，切线方程为 ， 即；
法线方程为 ， 即。
本课小结：1．本次课主要学习了函数的和、差、积、商的求导法则，即。
；（c为常数）；
2．利用函数商的求导法则得出四个求导公式：
本课作业：1．求下列函数的导数。
2、求下列函数在给定点处的导数。
1），求，；
2），求，；
3），求，。
第三讲复合函数的求导法则。
先看下面一个例题：
例求函数的导数。
解因为，则有。
对函数，能否用导数公式直接得出呢？从上面的例题已经得出，可见不能用公式直接得出，其原因在于该函数不是基本初等函数，而是的复合函数。下面我们给出复合函数的求导法则。
定理（复合函数的求导法则）如果函数在点处可导，函数在点处可导，则复合函数也在点处可导，且有
上式也可写成。
或 即：复合函数的导数等于函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积。
复合函数的求导法则可以推广到有限次复合的复合函数中去。
例如，设，，都可导，则有。
例1 求函数的导数。
解函数是由和复合而成的，因此。
例２ 求函数的导数。
解函数是由，复合而成的，因此 。
对复合函数的分解比较熟练后，在求复合函数的导数时，就可以不必写出中间变量，只要把中间变量所代替的式子默记在心，运用复合函数的求导法则，按照复合的前后次序，逐层求导即可。
例３ 求函数的导数。
解 （1）；
例４ 求函数的导数。
解 （1）先化简得 ，然后求导数，得。
3）因为 ，所以 。
例5 已知在交流电路中，通过的电量是时间的函数，函数的关系式是（其中、、均为常数），求电流强度。
解由电学知识和导数定义，电流强度是电量对时间的导数，所以
本课小结：本节课学习了复合函数的求导法则，即或 ，这次课的关键，在于首先将函数分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行求导。注意求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。
对复合函数的分解比较熟练后，就不必写出中间变量，但要把中间变量所代替的式子默记于心，再运用复合函数的求导法则，逐层求导即可。
本课作业：1．求下列函数的导数。
2．求下列函数在给定点的导数。
2），求；
第四讲。一、反函数的导数。
二、隐函数的导数。
一、 反函数的求导法则。
前面已经求出一些最基本初等函数的导数公式。下面我们解决反三角函数的求导问题。
定理如果单调函数在内可导，且，那么它的反函数在对应的区间也可导，且有。
或或 。例1 求反正弦函数的导数。
解的反函数为，由反函数的求导法则得
类似地，可以推出如下公式。
例2 求反正弦函数的导数。
解的反函数为，由反函数的求导法则可得。
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