对数函数及其性质 2

2.2.2 对数函数及其性质（2）

从容说课。研究对数函数需从研究函数的一般规律入手。本节课起承上启下的作用，侧重于研究对数函数的单调性、奇偶性。

对于比较大小的问题，一般常用方法有：底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；底相同，指数不同的，可看作同一指数函数上的几个函数值，用指数函数的单调性比较大小；底数不同，真数相同的几个数，可通过图象比较大小，也可通过换底公式比较大小；底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.对于对数函数奇偶性的判定不能仅从形式上去观察而得出结论，应从定义上严格加以论证，这类问题技巧性较强。

对数函数的单调性需严格按定义来加以论证。

三维目标。一、知识与技能。

1.掌握对数函数的单调性。

2.会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较。

二、过程与方法。

1.通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法。

2.培养学生的数学应用的意识。

三、情感态度与价值观。

1.用联系的观点分析、解决问题。

2.认识事物之间的相互转化。

教学重点。利用对数函数单调性比较同底对数大小。

教学难点。不同底数的对数比较大小。

教具准备。投影、作业讲义。

教学过程。一、创设情景，引入新课。

上一节，大家学习了对数函数y=logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞上是减函数。这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题。

二、讲解新课。

例题讲解。例1】比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）

1）log23.4，log23.8；

2）log0.51.8，log0.52.1；

3）loga5.1，loga5.9；

4）log75，log67.

请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习。

生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）

解：（1）对数函数y=log2x在（0，+∞上是增函数，且3.4＜3.8.于是log23.4＜log23.8.

2）对数函数y=log0.5x在（0，+∞上是减函数，且1.8＜2.1，于是log0.51.8＞log0.52.1.

3）当a＞1时，对数函数y=logax在（0，+∞上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，对数函数y=logax在（0，+∞上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.

请观察第（4）题，你认为它和其他三题有什么区别？

两个对数式的底数和真数均不相同。

能否找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小呢？

这种困惑同学们以前遇到过吗？以前我们是怎样解决这类问题的呢？

解：因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数，所以log75＜log77=1=log66＜log67.

所以log75＜log67.

本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小。当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。

若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较。

已知logm4＜logn4，比较m、n的大小。

该题和我们以前见到的题目有什么不同？

已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系。

你能解决这个问题吗？

你能解决与这个问题有关的一个问题吗？

若变量在真数位置上，我就可以解决这个问题了。

你能设法对原式进行变换使变量在真数位置上吗？

你最希望已知条件的不等式两边的对数式变成怎样的形式？

log4m和log4n.

如果能找到log4m和logm4的关系，这个问题就可以了，请回顾一下对数的运算法则，你能找到log4m和logm4的关系吗？

结论：logm4=.

有了这个关系，题中已知条件就变为＜，你能据此确定m、n的大小关系吗？

已知条件对于m、n有什么限制吗？

由已知可得m、n都大于0，且都不等于1.

在这个条件的限制下，你能由条件＜确定m、n的大小关系吗？

将条件＜进行怎样的变换才能确定m、n的大小关系呢？

将两边同乘以log4m·log4n即可。

能直接乘以log4m·log4n吗？乘以log4m·log4n之后原式中的不等号方向如何变化？

解：∵logm4＜logn4，∴＜

当m＞1，n＞1时，得0＜＜，log4n＜log4m.∴m＞n＞1.

当0＜m＜1，0＜n＜1时，得＜＜0，log4n＜log4m.∴0＜n＜m＜1.

当0＜m＜1，n＞1时，得log4m＜0，0＜log4n，0＜m＜1，n＞1.∴0＜m＜1＜n.

综上所述，m、n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.

例2】判断函数f（x）=ln（－x）的奇偶性。

你觉得要解决这个问题需要掌握哪些知识？

即函数单调性的定义以及运用函数的单调性判断函数单调性的方法和步骤以及对数的定义。

如何运用这些知识解决这个问题呢？至此，你能解决这个问题吗？

解：∵＞x恒成立，故f（x）的定义域为（－∞又∵f（－x）=ln（+x）

－ln－ln

－ln（－x）

－f（x），f（x）为奇函数。

在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系。

f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕，f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0=1〔f（x）≠0〕.

在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断。

你能够用这些等价的变形再次研究例3吗？看一看哪一种方法最好。

例3】（1）证明函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞上是增函数；

2）问：函数f（x）=log2（x2+1）在（－∞0）上是减函数还是增函数？

分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。

1）证明：设x1、x2∈（0，+∞且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=log2（x12+1）－log2（x22+1），0＜x1＜x2，x12+1＜x22+1.

又∵y=log2x在（0，+∞上是增函数，log2（x12+1）＜log2（x22+1），即f（x1）＜f（x2）.

函数f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞上是增函数。

2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程。

利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法。

例4】已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1.

1）求f（x）；

2）求证：f（x）是奇函数；

3）求证：f（x）在r上为增函数。

分析：利用换元法，可令t=logax，求出f（x），从而求出f（x）.证明奇函数及增函数可运用定义。

1）解：设t=logax，则t∈r，x=at（x＞0）.

则f（t）==at－a－t）.

2）证明：∵f（－x）=（a－x－ax）=－ax－a－x）=－f（x），f（x）为奇函数。

3）证明：设x1、x2∈r，且x1＜x2，则。

f（x2）－f（x1）=；a－a－）－a－a－）］

；（a－a）+a－a－（a－a）］

（a－a）（1+a－a－）.

若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在r上为增函数；

若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.

f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在r上为增函数。

综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数。

二、目标检测。

课本p85练习3.

答案：（1）＜ 2）＜ 3）＞ 4）＞

三、课堂小结。

通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想。

四、布置作业。

课本p88习题2.2b第2，3题。

板书设计。2.2.2 对数函数及其性质（2）

1.对数函数大小比较方法。

2.复合函数的单调性和奇偶性的判断。

一、例题解析。

二、学生训练、目标检测题评析。

三、课堂小结与布置作业。

对数函数及其性质 2

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对数函数及其性质 2

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