递推公式：
形如。05山东卷）已知数列的首项前项和为，且。
i）证明数列是等比数列；
ii）令，求函数在点处的导数并比较与的大小。
解：由已知可得两式相减得。
即从而当时所以又所以从而。
故总有，又从而即数列是等比数列；
ii）由（i）知。
因为所以。从而=
由上-=
当时，①式=0所以；
当时，①式=-12所以。
当时，又。所以即①从而。
形如：至少有2种解法。
07天津理在数列中，，其中．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
ⅰ）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
1）当时，，等式成立．
2）假设当时等式成立，即，那么。
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
ⅱ）解：设， ①
当时，①式减去②式，得，这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
由知，要使③式成立，只要，因为。
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
形如：其实上面2种都可归纳进来。思路就是构造新数列，看f(n)是什么样的类型。
在数列中，，，
ⅰ）证明数列是等比数列；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
ⅰ）证明：由题设，得。
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
ⅱ）解：由（ⅰ）可知，于是数列的通项公式为。
所以数列的前项和．
ⅲ）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立．
形如：，一般采取特征根方程法，但如果方程无解，则数列可能是周期数列。
重庆卷)数列满足a1=1且8an+1-16an+1+2an+5=0 (n1)。记(n1)。
(1) 求b1、b2、b3、b4的值；
(2) 求数列的通项公式及数列的前n项和sn。
解法一：i）
ii）因，故猜想。
因，（否则将代入递推公式会导致矛盾）。
故的等比数列。
解法二：ⅰ）由。
整理得。ⅱ）由。所以。故。
由得。故。
解法三：ⅰ）同解法一。
从而。故。
此题可用特征根方程求解。
05湖南卷）已知数列满足，则b ）
a．0 b． c． d．
形如。05江西卷）已知数列。
1）证明。2）求数列的通项公式an.
解：（1）方法一用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴，命题正确。
2°假设n=k时有。则。而。
又。时命题正确。
由°知，对一切n∈n时有。
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，∴；
2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设。
有：即。也即当n=k+1时成立，所以对一切。
（2）下面来求数列的通项：所以。
又bn=－1，所以。
06山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
2） 设tn=(1+a1) (1+a2) …1+an)，求tn及数列｛an｝的通项；
3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和sn，并证明sn+=1.
解：（ⅰ由已知，
两边取对数得。
即。是公比为2的等比数列。
ⅱ）由（ⅰ）知。
由（*）式得。又。又。
形如。06福建卷）已知数列满足。
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）求数列的通项公式；
（ii）若数列满足证明是等差数列。
解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。
i）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列。
ii）解：由（i）得。
iii）证明：
－①，得。即 ③
－③，得。即。
是等差数列。
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