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课时提升作业(七十三)
相似三角形的判定及有关性质。
45分钟 60分)
1.(10分)(2015·银川模拟)如图，在△abc中，d是ac的中点，e是bd的中点，ae的延长线交bc于f.
1)求的值。
2)若△bef的面积为s1，四边形cdef的面积为s2，求s1∶s2的值。
解析】(1)过点d作dg∥bc，并交af于g点，因为e是bd的中点，所以be=de.
又因为∠ebf=∠edg，∠bef=∠deg，所以△bef≌△deg，则bf=dg，所以bf∶fc=dg∶fc.
又因为d是ac的中点，则dg∶fc=1∶2，则bf∶fc=1∶2，即=.
2)若△bef以bf为底，△bdc以bc为底，则由(1)知bf∶bc=1∶3，又由be∶bd=1∶2可知h1∶h2=1∶2，其中h1，h2分别为△bef和△bdc的高，则=×=则s1∶s2=1∶5.
2.(10分)如图，在梯形abcd中，ab∥cd，且ab=2cd，e，f分别是ab，bc的中点。ef与bd相交于点m.
1)求证：△edm∽△fbm.
2)若db=9，求bm.
解析】(1)因为e是ab的中点，所以ab=2eb，因为ab=2cd，所以cd=eb.
又ab∥cd，所以四边形cbed是平行四边形。
所以cb∥de，所以。
所以△edm∽△fbm.
2)由(1)知=，因为f是bc的中点，所以de=2bf，所以dm=2bm.所以bm=db=3.
3.(10分)如图，ad，be是△abc的两条高，df⊥ab，垂足为f，交be于点g，交ac的延长线于h，求证：df2=gf·hf.
证明】在△afh与△gfb中，因为∠h+∠bac=90°，gbf+∠bac=90°，所以∠h=∠gbf.
因为∠afh=∠bfg=90°，所以△afh∽△gfb，所以=，所以af·bf=gf·hf.
因为在rt△abd中，fd⊥ab，所以df2=af·bf.
所以df2=gf·hf.
4.(10分)(2015·郑州模拟)如图，在锐角三角形abc中，d为c在ab上的射影，e为d在bc上的射影，f为de上一点，且满足=，1)证明：cf⊥ae.
2)若ad=2，cd=3，db=4，求tan∠bae的值。
解析】(1)设cf与ae交于点g，连接dg，如图。
因为=，所以=，又△cde∽△dbe，所以=.
于是有=，又因为∠cdf=∠abe，所以△cdf∽△abe，所以∠dcg=∠dag，所以a，d，g，c四点共圆。
从而有∠agc=∠adc=90°，所以cf⊥ae.
2)在rt△cef中，因为cf⊥ae，所以∠ecf=∠aed，因为cd=3，db=4，cd⊥ab，所以bc=5，de=，又因为=，所以ef=，由cd2=ce·cb，知ce=，所以tan∠ecf=，又tan∠dcb=，所以tan∠dcf==，故tan∠bae=.
5.(10分)如图，△abc中，d是bc的中点，m是ad上一点，bm，cm的延长线分别交ac，ab于f，e.
求证：ef∥bc.
证明】过点a作bc的平行线，与bf，ce的延长线分别交于g，h.
因为ah∥dc，ag∥bd，所以=，=
所以=.因为bd=dc，所以ah=ag.
因为hg∥bc，所以=，=
因为ah=ag，所以=，所以ef∥bc.
6.(10分)如图所示，在△abc中，bc=2，bc边上的高ad=1，p是bc边上任一点，pe∥ab交ac于e，pf∥ac交ab于f，则p点在什么位置时，△pef的面积最大，最大值是多少？
解析】如图所示，作em⊥bc于m，fn⊥bc于n，设bp=x.
因为pf∥ac，所以△bpf∽△bca，所以=，所以fn=x.
同理△pce∽△bca，em=(2-x).
所以s△pef=saepf
(s△abc-s△bfp-s△pec)
[×2×1-x·x-(2-x)·(2-x)]
-x2+x=-(x-1)2+(0所以当x=1时，即p为bc中点时，s△pef最大，最大值为。
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