课时提升作业

课时提升作业(二十八)

直线和圆的位置关系(第2课时)

30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分，共12分)

1.(2015·重庆南开中学质检)如图，ab为☉o的直径，pd切☉o于点c,交ab的延长线于点d,若ob=bd,则∠a的大小是( )

a.30° b.32° c.34° d.36°

解析】选a.连接oc,则oc⊥dc,即∠dco=90°.

又∵ob=bd,ob=oc,∴oc=od,∠d=30°,∴cob=60°,∴a=30°.

2.如图，ab是☉o的直径，bc交☉o于点d,de⊥ac于点e,要使de是☉o的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )

解析】选a.当ab=ac时，如图：连接ad,∵ab是☉o的直径，ad⊥bc,∴cd=bd.

ao=bo,∴od是△abc的中位线，∴od∥ac.∵de⊥ac,∴de⊥od,∴de是☉o的切线。∴b项正确。

当cd=bd时，ao=bo,∴od是△abc的中位线，od∥ac,∵de⊥ac,∴de⊥od,∴de是☉o的切线。∴c项正确。当ac∥od时，de⊥ac,de⊥od,∴de是☉o的切线，∴d项正确。

3.(2014·淄博中考)如图，直线ab与☉o相切于点a,弦cd∥ab,e,f为圆上的两点，且∠cde=∠adf,若☉o的半径为，cd=4,则弦ef的长为( )

a.4b.2c.5d.6

解析】选b.连接oa,并反向延长交cd于点h,连接oc,直线ab与☉o相切于点a,∴oa⊥ab,弦cd∥ab,∴ah⊥cd,ch=cd=×4=2,☉o的半径为，∴oa=oc=,oh==,ah=oa+oh=+=4,ac==2.

∠cde=∠adf,∴=ef=ac=2.

二、填空题(每小题4分，共12分)

4.(2014·青岛中考)如图，ab是☉o的直径，bd,cd分别是过☉o上点b,c的切线，且∠bdc=110°.连接ac,则∠a的度数是 °.

解析】连接oc,bd,cd分别是过☉o上点b,c的切线，oc⊥cd,ob⊥bd,∠ocd=∠obd=90°,∠bdc=110°,∠boc=360°-∠ocd-∠bdc-∠obd=70°,∠a=∠boc=35°.

答案：355.(2015·浙江富阳中学月考)在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4,点o为bc的中点，以o为圆心作☉o交bc于点m,n,☉o与ab,ac相切，切点分别为d,e,则☉o的半径和∠mnd的度数分别为。

解析】连接oa,ab与☉o相切，od⊥ab,在等腰直角三角形abc中，ab=ac=4,o为bc的中点，ao⊥bc,∴od∥ac,o为bc的中点，∴od=ac=2;

∠dob=45°,∴mnd=∠dob=22.5°.

答案：2 22.5°

6.如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm),那么该光盘的直径是 cm.

解析】如图，设圆心为o,弦为ab,切点为c.如图所示。连接oc,交ab于d点，则ab=8cm,cd=2cm.连接oa.∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴oc⊥ab.

ad=4cm.设半径为rcm,则r2=42+(r-2)2,解得r=5,∴该光盘的直径是10cm.

答案：10三、解答题(共26分)

7.(8分)(2014·聊城中考)如图，ab,ac分别是半☉o的直径和弦，od⊥ac于点d,过点a作半☉o的切线ap,ap与od的延长线交于点p,连接pc并延长与ab的延长线交于点f.

1)求证：pc是半☉o的切线。

2)若∠cab=30°,ab=10,求线段bf的长。

解析】(1)连接oc.

oa=oc,∴△oac是等腰三角形。

又∵od⊥ac,∴∠aod=∠cod.

又op=op,oa=oc,△pao≌△pco.

又ap是半☉o的切线，∴∠pao=∠pco=90°.

又oc是半☉o的半径，∴pc是半☉o的切线。

2)在rt△acb中，∠cab=30°,∴abc=60°.

ob=oc,∴△obc是等边三角形。∴∠cob=60°.

又oc⊥pf,∴∠ofc=30°.∴of=2oc.

又of=ob+bf,∴bf=oc=ab=5.

8.(8分)(2014·黄冈中考)如图，在rt△abc中，∠acb=90°,以ac为直径的☉o与ab边交于点d,过点d作☉o的切线，交bc于点e.

1)求证：eb=ec.

2)若以点o,d,e,c为顶点的四边形是正方形，试判断△abc的形状，并说明理由。

解析】(1)如图，连接cd.

ac为☉o的直径，∠acb=90°,∴cb为☉o的切线，又∵de切☉o于d,ed=ec.

∠cde=∠dce.

ac为☉o的直径，∴∠adc=90°,∠cde+∠edb=90°,∠dce+∠cbd=90°,∠edb=∠cbd.

ed=eb,∴eb=ec.

2)△acb为等腰直角三角形。理由：

四边形odec为正方形，∴oc=ce,∠acb=90°.

oc=ac,ce=eb=bc,ac=bc.

△acb为等腰直角三角形。

知识归纳】切线的性质定理和判定定理的区别。

1.切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用。

2.切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用，两者在使用时不要混淆。

培优训练】9.(10分)如图，ab是☉o的直径，c为圆周上一点，bd是☉o的切线，b为切点。

1)在图(1)中，∠bac=30°,求∠dbc的度数。

2)在图(2)中，∠ba1c=40°,求∠dbc的度数。

3)在图(3)中，∠ba1c=α,求∠dbc的大小。

4)通过(1),(2),(3)的**，你发现了什么结论？

解析】(1)∵ab是☉o的直径，∴∠acb=90°.∵bac=30°,∴abc=60°.

bd是☉o的切线，∴∠abd=90°,∴dbc=30°.

2)连接ac,则∠bac=∠ba1c=40°,根据(1)可得∠dbc=40°.

3)连接ac,则∠bac=∠ba1c=α,根据(1)可得∠dbc=α.

4)圆的切线与弦所成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。

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