第九章习题解答
1.已知矩阵。
试用格希哥林圆盘确定a的特征值的界。
解： 2.设是矩阵a属于特征值的特征向量，若，试证明特征值的估计式。
解： 由得
3.用幂法求矩阵的强特征值和特征向量，迭代初值取。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;
a=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];
for k=1:100
y=a*z;
c,i]=max(abs(y));
if y(i)<0,c=-c;end
z=y/cif abs(c-d)<0.0001,break; end
d=cend
强特征值为11，特征向量为。
4.用反幂法求矩阵最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取。
解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;
a=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];
for k=1:100
aa=a-6*eye(3);
y=aa\z;
c,i]=max(abs(y));
if y(i)<0,c=-c;end
z=y/c;
if abs(c-d)<0.0001,break; end
d=cend
d=6+1/c
最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为。
5.设非奇异，a的正交分解为a=qr，作逆序相乘a1=rq，试证明。
1） 若a对称则a1也对称；
2） 若a是上hessenberg阵，则a1也是上hessenberg阵。
证明：（1），对称。
（2）a是上hessenberg阵，用givens变换对a作正交分解，即。
显然a1也是上hessenberg阵。
6.设矩阵。
1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求a的强特征值和特征向量；
2）用qr算法作一次迭代，求a的特征值；
3）用代数方法求出a的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。
解：（1）a的强特征值为2.6181，特征向量为。
2）for i=1:10
q,r]=qr(a);
a=r*qend
a的特征值为2.6180，0.3820
3），特征值。
特征向量。7. 设矩阵。
1）用householder变换化a为对称三对角阵。
2）用平面旋转阵对进行一步qr迭代计算出。解：（1）
8. 用带位移的qr方法计算下列矩阵的全部特征值。
解：（1）for k=1:20
p=a(3,3);
aa=a-p*eye(3);
q,r]=qr(aa);
a=r*q+p*eye(3)
end全部特征值为 4 , 1 , 3
全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679
9. 设，且已知其强特征值和对应的特征向量，1）证明：若构造householder阵h使（常数），则必有。
其中，且a的其余n-1个特征值就是的特征值。
2）以为例，已知，用以上方法构造h阵，并求出a的第二个特征值。
解：（1）构造householder阵h使。
即hah的第一列为，
a的第二个特征值为 -3。
10.对以下的实对称阵用qr方法求其全部特征值。
解：（1）全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687
全部特征值为 6, 3, 1
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