数值分析作业

实验报告一。

题目：分析误差的方法与原则。

摘要：用计算机解决实际问题就要先建立数学模型，而模型与实际问题之间会出现误差无可避免。因此在数值分析中除了要研究数学问题的数值方法与理论，还要研究计算结果的误差是否满足精度要求，这就是误差估计问题。

前言：（目的和意义）掌握截断误差与舍入误差。

数学原理：截断误差指数学模型与数值方法之间的误差。由于实际运算只能完成有限步，因此就要用极限的方法对无限过程进行简化，这样产生的误差成为截断误差。

舍入误差指的是由于计算机的位数有限带来的误差称为“舍入误差”，计算机数字位数有限，对数据往往要进行四舍五入取其近似值从而产生误差。

舍入误差是为了计算的方便人为造成的，而截断误差是由于计算方法造成的不可避免的误差。

1.绝对误差：，简称误差。

2. 相对误差：，在实际的计算过程中间，通常取。

3. 相对误差限。

1）计算in=exp(-1) x ^n exp(x)dx x在（0,1）中 (n=0,1,…)并估计误差。

解：由分部积分得in的递推公式 in=1-nin-1（n=1,2，…）程序如下：

i=int('x^0*exp(x-1)',x',0,1)

i =1 - 1/exp(1)

> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^1*exp(x-1)',x',0,1)

i =1/exp(1)

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^2*exp(x-1)',x',0,1)

i =1 - 2/exp(1)

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^3*exp(x-1)',x',0,1)

i =6/exp(1) -2

>> vpa(i,4)ans =

i=int('x^4*exp(x-1)',x',0,1)

i =9 - 24/exp(1)

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^5*exp(x-1)',x',0,1)

i =120/exp(1) -44

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^6*exp(x-1)',x',0,1)

i =265 - 720/exp(1)

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^7*exp(x-1)',x',0,1)

i =5040/exp(1) -1854

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^8*exp(x-1)',x',0,1)

i =14833 - 40320/exp(1)

>> vpa(i,4)ans =

> i=int('x^9*exp(x-1)',x',0,1)

i =362880/exp(1) -133496

>> vpa(i,4)ans =

此题迭代到第八步。

例1．4要使√20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？

解：近似数x*，若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为，＆*1/2a1)*10^-(n-1) 则其至少有n位有效数字。

此题中√20的近似值=4.4…知a1=4，故要取n=4.就有√20的近似值的相对误差限小于0.1%。

其编程如下：

i=sym('20');sqrt(i)ans =

>> vpa(sqrt(i),4)ans =

a0=3,ak=2ak-1,用秦九韶算法求p100(0.5),p150(13)

掌握秦九韶算法的基本原理与应用。

5.秦九韶算法：

程序设计：秦九韶算法的主程序：

function q=**s(n,x)

a(1)=3;

for i=1:n+1

a(i+1)=2.*a(i)+3;

ends1=a(n+1);

for j=1:n

s=x*s1+a(n+1-j);

s1=s;end

q=s;end

结果分析和讨论：

1 已知p[n]x=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+.a[1]x+a[0], a[n]=2 a[n-1]+3,a[0]=3,求p100(0.5),p150(13).

解：计算结果为。

**s(100,0.5)ans =

**s(150,13)

ans =1.0995e+213

结论：多项式的求解有多种计算方法，秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，一般，一元n次多项式的求值需要经过（n*（n+1））/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。

实验报告二。

题目：拉格朗日插值法和牛顿插值法求近视值。

摘要：许多实际问题都用函数y=f（x）来表示某种内在规律的数量关系，其中一部分函数是通过实验或观测得到的。很多f（x）只能给出[a,b]上的一系列点xi的函数值或者一张函数表，有的函数虽然有解析表达式，但由于计算复杂，我们希望可以根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数p(x)，用p(x)近似f(x)。

通常选一类简单的函数作为p(x)，并使p(xi)=f(xi)对i=1,2,……n成立。由此确定的p(x)就是我们希望的插值函数，此即为插值法。

前言：（目的和意义）掌握lagrange插值算法。

数学原理：拉格朗日插值法n次拉格朗日插值多项式为：ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…ynln(x)

n=1时，称为线性插值，l1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0)

n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对较高。

l2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)

牛顿插值法：

现构造一个插值多项式nn(x)，利用牛顿插值公式，增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面nn(x)的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。

由线性代数知，对任何一个不高n次的多项式p(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bnxn (幂基) ①

也可将其写成p(x)=a0＋a1(x－x0)＋a2(x－x0) (x－x1)＋…an(x－x0) …x－xn-1)

其中ai为系数，xi为给定节点，可由①求出ai，一般情况下，牛顿插值多项式nn(x)可写成：

nn(x)= a0＋a1(x－x0)＋a2(x－x0) (x－x1)＋…an(x－x0) …x－xn-1))

线性插值法：

线性插值法：线性插值经常用于已知函数 f 在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为：

r（t）=f（x）-p（x）

其中 p 表示上面定义的线性插值多项式

根据罗尔定理，我们可以证明：如果 f 有二阶连续导数，那么误差范围是

函数上两点之间的近似随着近似的函数的二阶导数的增大逐渐变差。直观上来看：函数的曲率越大，线性插值近似的误差也越大。

二、主要思路。

使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n 次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…ynln(x)

上式表明：n 个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。求得lk

三．计算方法及过程：

拉格朗日插值法）1.输入节点的个数n

2.输入各个节点的横纵坐标。

3.输入插值点。

4.调用函数，返回。

牛顿插值法）1.先后输入节点个数和节点的横纵坐标，插值点的横坐标，最后输入精度。

2. 用do-while循环语句得到跳出循环时k的值。

3.将k值与n-1进行比较，若达到精度时k程序设计：

33．设，给出数据如下，用线性插值。二次插值。及三次插值计算ln（0.54）的近似值。

解：一次：> x0=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8];

> y0=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144];

format long

> interp1(x0,y0,0.54)ans =

一次 x0=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8];

y0=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144];

x=0.54;

> n=length(x0);

s=0;> for j=0:(n-1)

t=1;for i=0:(n-1)

if i~=j

t=t*(x-x0(i+1))/x0(j+1)-x0(i+1));

endend

s=s+t*y0(j+1);ends

s =二次 interp1(x0,y0,0.54,'spline')ans =

解：程序如下：

x0=-5:5;

y0=1./(1+x0.^2);

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