数值分析作业

问题一。

一）因为测量时间为整点，有最近插值、线性插值、埃尔米特插值等插值方法，而我们知道，龙格现象就是高次插值的病态问题，即对于函数f(x)=1/(x^2+1)，在[-5,5]内使用高次插值会出现病态问题。而我就想到使用分段三次插值或者三次样条插值，下面对龙格现象的函数用几种方法插值，并不包括所有的插值方法，使用matlab做出函数图象如下：

同理可得，对于测量时间为整点的问题可用分段三次插值。

二）规定测24次，而不限定具体测量时间，我们可以对测量时间进行更加合理的选择，即选择气温相对时间段内变化率相对稳定的时间点进行记录数据，同时我们想到，为了使得插值图象更加光滑，可以用三次样条插值，这样更加准确。

三）要找出气温为10摄氏度的时刻，我们可以假设气温的变化符合正常的变化规律，排除相对特别的地区，而该地区的气温在0~20摄氏度内，对于10摄氏度可以先确定大致分布在一天内的时间段，对其范围进行缩小，然后对于连续几天内该时间段内的气温进行测量，使用插值方法，求出插值多项式，使得误差尽可能的小，代入气温值，可以得到时刻，并用绝对误差进行表示。

四）要估计十点钟时气温随时间的变化率，可记录下一段时间内八点到十二点每隔二十分钟的气温数据，做出关于时间的变化率，用插值方法得出一定的关系，在十点钟左右的时候的变化率，并同时用相对误差限对其进行限制。

五）一般情况下，气温最高值出现在午后两点钟左右，最低值出现在清晨日出前后。对于本题，我们可以先对数据做一个基本的判断，观察数据是否符合上述的规律。然后，我们可以先对最高气温所在的时间区间进行估计，然后再对一段时间内的数据进行插值，和上面的题目的判断方法类似，从而得出一个相对准确的最高气温出现范围，最低气温同理也可以用上述方法得出。

六）我们首先用matlab模拟一个大致的图像，表示气温随着时间变化的关系，如下：

x=0:24;

y=[5 4.5 3.7 2.

6 1.4 0.5 1.

1 2.8 5.5 7.

3 9.4 12.3 14.

5 16.7 18.1 18.

9 16.4 14.3 12.

2 10.3 8.9 7.

5 6.9 6.1 5.

4];要计算在[0,24]内f(t)的积分，我们可以通过图像和上面几问分析，如果我们将此曲线分为[0,10]和[10,24]两部分，分别计算其相关的积分，可以更加合理，并且误差较小。分别在两个区间内对数据进行多项式插值，可计算出插值多项式，在进行积分运算，最后求和即可。利用上述数据，用matlab求解，最后结果第一部分积分值为50，第二部分积分值为238，则总积分值为288.

**如下：x1=0:10;

y1=[5 4.5 3.7 2.6 1.4 0.5 1.1 2.8 5.5 7.3 9.4];

x2=10:24;

y2=[9.4 12.3 14.

5 16.7 18.1 18.

9 16.4 14.3 12.

2 10.3 8.9 7.

5 6.9 6.1 5.

4];xx1=0:0.1:10;

xx2=10:0.1:24;

yy1=interp1(x1,y1,xx1,'spline');

yy2=interp1(x2,y2,xx2,'spline');

yyy1=poly2str(yy1,'x');

yyy2=poly2str(yy2,'x');

a=int('yyy1',0,10)

b=int('yyy2',10,24)

c=a+b另外数值积分那章有相应的牛顿-柯斯特公式、复合求积公式等，我没用，只是自己对于这种问题的一个尝试，当然以后的学习中会有相应的改进。

问题二。已知该方程为利卡提方程，不易用初等积分方法解出方程解。本意是打算在已知区间上面用matlab解出数值解，然后画出图像用最小二乘拟合来做的，但是做的过程中由于该方程的解的特殊性，效果不明显，所以放弃这种方法。

后参考朱涛同学的使用picard迭代序列方法对方程解进行近似，由lipschitz条件知方程有唯一解，则。

以此类推，可归纳的求出：

然后相应问题就转化成在相应基底span和span上面的最佳平方逼近问题，这里不做相应延伸了。而对于最佳平方逼近，无论是数值分析课程还是常微分方程课程中都有提到，当迭代次数足够大的时候，在相应区间内，最佳平方逼近可近似为该区间内的最佳一致逼近，即使得误差最小。

第二题应该还有更好的方法，但我没想出来，暂时先这么做。数1001

陈维轩。

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