实验2.2算法设计与比较。
实验目的：编制不同方法的matlab程序，**这些方法的计算效果和特点。
问题提出：非线性方程的数值解法很多，不同的方法效果如何，要靠计算的实践来分析、比较。
实验内容：考虑下列算法：（1）牛顿法（2）弦割法（3）抛物线法。
分别编写它们的matlab程序。
牛顿法程序：
function [r,k]=newton(f,x0,eps) %牛顿迭代程序初始解：x0；解的精度：eps，可以不输入，默认1.
0e-9；迭代步数：k；if nargin==2eps=1.0e-9;end
fx1=subs(f,'x',x0);gx=diff(f,'x');
gx1=subs(gx,'x',x0);r=x0-fx1/gx1;k=0;disp('k r');tol=1;
while tol>eps
disp([num2str(knum2str(r)])x0=r; k=k+1;
fx1=subs(f,'x',x0);gx1=subs(gx,'x',x0);r=x0-fx1/gx1;tol=abs(r-x0);if(k>10000)
disp('迭代步数太多，可能不收敛！')return;endend
disp([num2str(knum2str(r)])
弦割法程序。
function [r,k]=xiange(f,x0,x1,eps) %弦割法程序初始解：x0,x1；解的精度：eps，可以不输入，默认1.0e-9；迭代步数：k；
if nargin==3eps=1.0e-9;end
fx1=subs(f,'x',x1);fx0=subs(f,'x',x0);r=x1-fx1*(x1-x0)/(fx1-fx0);k=0;
disp('k r');tol=1;
while tol>eps;
disp([num2str(knum2str(r)])x0=x1;x1=r;k=k+1;fx1=subs(f,'x',x1);fx0=subs(f,'x',x0);
r=x1-fx1*(x1-x0)/(fx1-fx0);tol=abs(r-x1);if(k>10000)
disp('迭代步数太多，可能不收敛！')break;endend
disp([num2str(knum2str(r)])
抛物线法程序。
function [r,k]=paowuxian(f,x0,x1,x2) %抛物线法程序初始解：x0,x1,x2；解的精度：eps，可以不输入，默认1.
0e-9；迭代步数：k；if nargin==4eps=1.0e-9;endk=0;
disp('k r');
l3=(x2-x1)/(x1-x0);d3=1+l3;
a=subs(f,'x',x0)*l3^2-subs(f,'x',x1)*l3*d3+subs(f,'x',x2)*l3;b=subs(f,'x',x0)*l3^2-subs(f,'x',x1)*d3^2+subs(f,'x',x2)*(l3+d3);c=subs(f,'x',x2)*d3;
l4=(-2)*c/(b+sign(b)*(b^2-4*a*c)^(1/2));r=x2+l4*(x2-x1);tol=1;
while tol>eps;
disp([num2str(knum2str(r)])x0=x1;x1=x2;x2=r;k=k+1;l3=(x2-x1)/(x1-x0);d3=1+l3;
a=subs(f,'x',x0)*l3^2-subs(f,'x',x1)*l3*d3+subs(f,'x',x2)*l3;b=subs(f,'x',x0)*l3^2-subs(f,'x',x1)*d3^2+subs(f,'x',x2)*(l3+d3);c=subs(f,'x',x2)*d3;
l4=(-2)*c/(b+sign(b)*(b^2-4*a*c)^(1/2));
r=x2+l4*(x2-x1);tol=abs(r-x2);end
disp([num2str(knum2str(r)])
实验要求：1）用上述各种方法计算下面的里个例子。在达到相同精度的前提下，比较其迭代次数，浮点运算次数和cpu时间等。
ⅰx34x2100在[1,2]上的根。ⅱex10x20在（0,2）内的根。
数值结果：x34x2100在[1,2]上的根。
牛顿法：> tic,syms x;f=x^3+4*x^2-10;[r,k]=newdun(f,1),tock r
0 1.45451 1.36892 1.36523 1.36524 1.3652r =
1.3652k =4
elapsed time is 0.046000 seconds.②弦割法。
> tic,syms x;[r,k]=xiange('x^3+4*x^2-10',1,2),tock r0 1.26321 1.33882 1.
36663 1.36524 1.36525 1.
36526 1.3652r =
1.3652k =6
elapsed time is 0.055000 seconds.③抛物线法。
> tic,syms x;f=x^3+4*x^2-10;[r,k]=paowuxian(f,0,1,2),tock r0 1.34661 1.3652 1.
36523 1.36524 1.3652r =
1.3652k =4
elapsed time is 0.079000 seconds.
ex10x20在（0,2）内的根。
牛顿法：> tic,syms x;f=exp(x)+10*x-2;[r,k]=newdun(f,0),tock r
0 0.0909091 0.0905252 0.0905253 0.090525r =
0.0905k =3
elapsed time is 0.046000 seconds.②弦割法。
> tic,syms x;[r,k]=xiange('exp(x)+10*x-2',0,2),tock r
0 0.0757891 0.0880922 0.0905273 0.0905254 0.090525r =
0.0905k =4
elapsed time is 0.048000 seconds.
抛物线法。> tic,syms x;f=exp(x)+10*x-2;[r,k]=paowuxian(f,0,1,2),tock r0 0.09631 0.
0901452 0.0905253 0.0905254 0.
090525r =
0.0905k =4
elapsed time is 0.079000 seconds.
2）总结归纳实验结果，说明各种方法的收敛阶。
代数方程。迭代方法牛顿法弦割法抛物线法牛顿法。
弦割法抛物线法。
方程根r1.36521.36521.36520.09050.09050.0905迭代次数k
cpu时间/s0.0460000.0550000.0790000.0460000.0480000.079000
通过实验数值结果，可以看出不同的迭代法的收敛性及收敛速度不同，只要。
不等于零，牛顿法的收敛阶为至少2阶；弦割法收敛阶为1.618；抛物线法收敛阶为1.839.
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