数值分析》答案。
开课单位： 计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带计算器入场。
一、填空题（共30分，每空3分）
1. 要使得的近似值的绝对误差小于至少要取 5 位有效数字。 如果要使得相对误差小于，则至少要取 5 位有效数字。
2. 用newton迭代法求解方程可得到迭代公式 。
3. 已知矩阵，则用jacobi迭代法求解线性方程组得到的迭代矩阵为。该迭代法能收敛吗？答： 能 。
4. 设是线性方程组的数值解，其中系数矩阵非奇异。已知条件数，残差的范数，。则的相对误差限为 12.34 。
5. sor迭代收敛的必要条件是。
6． 矩阵的谱半径是 9.48 ,cond(a) 222.67 ,平方根分解中的矩阵l=
二、计算题（共7０分）
1. （12分）以下三种迭代方法都用于计算，假设，分析每种方法的收敛性并指出收敛速度最快的迭代方法。
解：（1）迭代点列为，故发散。 （2分）
2），，故是一个压缩映射，迭代法收敛。，所以该迭代法具有超线性收敛。（8分）
3），，故发散。 （10分）
所以收敛最快的迭代法为（2）。 12分）
2.下述矩阵能否进行lu分解？ 若能，写出l,u矩阵，并计算能分解矩阵的1范数， 范数
解：(1)不能分解。 因为（3分）
(2)能分解。 因为。 （5分）,
67,（10分）
3. （15分）
1) 已知有个插值节点，表示第个节点的lagrange插值基函数，证明：。
2) 已知插值节点a(1,0),b(3,2),c(4,15),d(7,12)。构造差商表，利用牛顿插值求通过这些插值节点的插值多项式。
证明：(1)不妨设函数是过的不超过n次的lagrange插值多项式，则是唯一的，且可写为。（3分）
因为显然满足所有插值条件，且次数不超过n次，故。证毕。（7分）
2) ：差商表如下：
故牛顿插值多项式为。
15分）4 （10分） 给定线性方程组。
写出求解该方程组的jacobi迭代的分量格式， 并分析jacobi迭代的收敛性。
解：， （5分）迭代矩阵为，特征值为０为三重根．所以 ，收敛 （10分）
．（13分） 应用牛顿法于方程导出其迭代公式， 并讨论其收敛速度。
解： f(x)= 2分） 牛顿迭代公式为：
既有， ,7分）当为f(x)的单根， 此时牛顿法在根附近是平方收敛的。（10分） 当a=0,迭代公式为（13分）
6． （10分）设a为正交矩阵， b=2i-a, i为单位矩阵。证明：求解线性方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛。
证：a为正交矩阵，则。设为a的任意一特征值，则。
矩阵的特征值为。所以。（5分）b非奇异。所以矩阵为对称正定的。所以高斯-塞德尔迭代法收敛。 （10分）
数值分析课后答案
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数值分析第3章答案
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