设有的矩阵。
其中矩阵的特征值满足 ,试求：
1. 的值。
2. 的与数最接近的特征值。
3. 的(谱范数)条件数和行列式。
1. 算法的设计方案
本题的核心算法是幂法、带原点平移的幂法、反幂法和lu分解法，要点在于选择算法时，应使的所有零元素都不存储。故算法设计的思路如下，第一步，对使用幂法(powermethod)，可得的按模最大的特征值，记为；
第二步，对使用带有原点平移的幂法，令平移量，可得另一端点的特征值记为；
第三步，比较与的大小，根据条件可知， ；
第四步，对使用反幂法(inversepowermethod)，可得的按模最小的特征值（使用lu杜立特尔分解法）
第五步，根据计算出，然后利用带有原点平移的反幂法求得，其中平移量，反幂法运算39次，可得；
第六步， 根据定义，非奇异的实对称矩阵的谱范数条件数，其中分别是矩阵的模为最大和模为最小的特征值，对于本题，则有；
第七步，由lu分解可知，，可得。
由于题目要求算法中所有零元素均不为0，故构造一个givevalue（）函数为从一个的数组里为赋值。
2. 全部的源程序。
#include <>
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void init_a();初始化a
double givevalue(int,int);/为a中元素赋值。
double powermethod(double);/带原点平移的幂法。
double inversepowermethod(double);/带原点平移的反幂法。
int presolve(double);/三角lu分解。
int solve(double double 解方程组。
int max(int,int);
int min(int,int);
double (*u)[502]=new double[502][502];/上三角u数组。
double (*l)[502]=new double[502][502];/单位下三角l数组。
double a[6][502];/矩阵a
int main()
int i,k;
double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;
double lambda[40];
init_a();对a初始化。
lambdat1=powermethod(0);
lambdat2=powermethod(lambdat1);
lambda1=lambdat1 lambda501=lambdat1>lambdat2?lambdat1:lambdat2;
presolve(0);
lambdas=inversepowermethod(0);
det=1;
for(i=1;i<=501;i++)
det=det*u[i][i];
for (k=1;k<=39;k++)
mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;
presolve(mu[k]);
lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);
printf计算结果如下所示n");
printf("λ1.11e λ=1.11e",lambda1,lambda501);
printf("λs=%1.11e",lambdas);
printf("cond(a)=%1.11e",fabs(lambdat1/lambdas));
printf("deta=%1.11e ",det);
for (k=1;k<=39;k++)
printf("λi%d=%1.11e ",k,lambda[k]);if(k % 3==0) printf("");
void init_a()/对a初始化。
int i;
for (i=3;i<=501;i++)a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;
for (i=2;i<=501;i++)a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;
for (i=1;i<=501;i++)a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);
double givevalue(int i,int j)//为a中非零元赋值，if (abs(i-j)<=2) return a[i-j+3][j];else return 0;
double powermethod(double offset)//幂法。
int i,x1;
double u[502],y[502];
double beta=0,prebeta=-1000,yita=0;
for (i=1;i<=501;i++)
u[i]=1,y[i]=0;//给向量u赋初值
for (int k=1;k<=10000;k++)
prebeta=beta;beta=0;
for (i=1;i<=501;i++)beta=beta+ y[i]*u[i];
if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) ;
输出偏移量，误差，迭代次数。
return (beta+offset);
double inversepowermethod(double offset)//反幂法。
int i;
double u[502],y[502];
double beta=0,prebeta=0,yita=0;
for (i=1;i<=501;i++)
u[i]=1,y[i]=0; /给u赋初值
for (int k=1;k<=10000;k++)
/输出偏移量，误差，迭代次数。
return (beta+offset);
int presolve(double offset)//三角lu分解。
int i,k,j,t;
double sum;
for (k=1;k<=501;k++)
for (j=1;j<=501;j++)
x[501]=y[501]/u[501][501];
for (i=500;i>=1;i--)
return 0;
int max(int x,int y)
return (x>y?x:y);
int min(int x,int y)
return (x}
3. 计算结果。
计算结果如图1所示。
图1偏移量offset，误差err，迭代次数k也在结果中有所反应，部分结果如图2所示。
图24. 讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响，并说明原因。
在main程序中，为初始向量u赋初值得到上述结果。
下面改变初始向量u的赋值，观察计算结果的差异。
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