北航研究生数值分析作业第二题

一、算法设计方案。

1. 按照题目给出的矩阵定义对矩阵a赋初值：对应的函数为a_init()；

2. 对矩阵a进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为householder()；

3. 输出拟上三角化后的a：对应的函数为aout(int)；

4. 对拟上三角化后的矩阵a使用带双步位移的qr分解法逐次迭代（最大迭代次数l=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵mk和对mk进行qr分解并得到ak+1;

5. 输出qr分解过程完毕后的a及求得的特征向量：对应的函数为aout()和eigenvalout()；

6. 对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(a-μi)=yk-1的程序段。这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数l设置为500；

7. 输出矩阵a的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。

算法编译环境：vlsual c++6.0

二、源程序如下：

#include <>

#define n 10矩阵阶数；

#define epsl 1.0e-12 //迭代的精度水平；

#define l 500迭代最大次数；

#define outputmode 1 //输出格式：0--输出至屏幕，1--输出至文件

double a[n][n], a2[n][n], eigen[n][n声明矩阵a；

double sa_re[n] =sa_im[n] =定义反幂法中使用的初始向量u；

/主程序开始；

int main()

file *p;

void a_init();

void householder();

void equal_zero(double matrix[n][n], int);

void eigenvec();

int eigen_a();

void aout(int);

void eigenvalout(int);

void eigenvecout(int);

if(outputmode)

a_init对矩阵a进行初始化；

householder对矩阵a进行拟上三角化；

equal_zero(a, n对矩阵a的元素进行归零处理，消除误差；

aout(outputmode输出a；

if(eigen_a())printf("迭代超过最大次数，特征值求解结果可能不正确。");求矩阵a的特征值；

equal_zero(a, n对矩阵a的元素进行归零处理，消除误差；

aout(outputmode输出a；

eigenvalout(outputmode); 输出矩阵的特征值；

eigenvec求矩阵a的特征向量；

eigenvecout(outputmode); 输出矩阵a的特征向量；

getchar();

void a_init()

int i,j;

for(i = 1; i <=n; i++)

a2[i - 1][i - 1] =a[i - 1][i - 1] =cos(i + 1.2 * i) *1.5这里使用if语句反而更慢，所以赋值赋了两次。

void householder() 对矩阵进行拟上三角化；

int r,i,j;

double tmp_ir, tmp_dr, tmp_pr, tmp_qr, tmp_tr, dr, cr, hr, tr;

double ur[n] =pr[n] =qr[n] =wr[n] =

int sgn2(double);

for(r = 0; r < n-2; r++)

int eigen_a() 计算a的特征值；

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