第三章函数逼近与曲线拟合。
1． ，给出上的伯恩斯坦多项式及。
解：伯恩斯坦多项式为。
其中。当时，当时，2． 当时，求证。
证明：若，则。
3．证明函数线性无关。证明：若。
分别取，对上式两端在上作带权的内积，得。
此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0。
函数线性无关。
4。计算下列函数关于的与：
m与n为正整数，解：
若，则。在内单调递增。
若，则。若m与n为正整数。
当时， 当时，
在内单调递减。
当时， 在内单调递减。
若。当时，
在内单调递减。
5。证明。证明：
6。对，定义。
问它们是否构成内积。
解：令（c为常数，且）则。而。
这与当且仅当时，矛盾。
不能构成上的内积。
若，则。则。
若，则。且。
即当且仅当时，.
故可以构成上的内积。
7。令，试证是在上带权的正交多项式，并求。
解：若，则。
令，则，且，故。
又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且。
是在上带权的正交多项式。
又。8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。
解：若，则区间上内积为。
定义，则。其中。
9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权的正交多项式。证明：若。
令，可得。当时，当时，又，故。
得证。10。证明切比雪夫多项式满足微分方程。
证明：切比雪夫多项式为。
从而有。得证。
11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式？
解：在闭区间上连续。
存在，使。取。
则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。
由切比雪夫定理知。
p为的零次最佳一致逼近多项式。
12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一？解：令。
则在上为奇函数。
又的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有。13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
解：于是得的最佳一次逼近多项式为。
即。误差限为。
14。求在上的最佳一次逼近多项式。
解：于是得的最佳一次逼近多项式为。
15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。
解：令，则。
且。令，则。
若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足。
当。时，多项式与零偏差最小，故。
进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为。
16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。解：若。
且，则。则法方程组为。
解得。故关于的最佳平方逼近多项式为。
17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式：解：若。
且，则有。则法方程组为。
从而解得。故关于的最佳平方逼近多项式为。
若。且，则有。
则法方程组为。
从而解得。故关于的最佳平方逼近多项式为。
若。且，则有。
则法方程组为。
从而解得。故关于的最佳平方逼近多项式为。
若。且则有。
则法方程组为。
从而解得。故关于最佳平方逼近多项式为。
18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：按勒让德多项式展开。
则。从而的三次最佳平方逼近多项式为。
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程。令。则。
则法方程组为。
从而解得。故物体运动方程为。
20。已知实验数据如下：
用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。
解：若，则。
则。则法方程组为。
从而解得。故。
均方误差为。
21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：
用最小二乘法求。
解：观察所给数据的特点，采用方程。
两边同时取对数，则。取。则。
则法方程组为。
从而解得。因此。
22。给出一张记录用fft算法求的离散谱。解：则。
23，用辗转相除法将化为连分式。
解。24。求在处的阶帕德逼近。
解：由在处的泰勒展开为。得。从而。
即。从而解得。又。则。
故。25。求在处的阶帕德逼近。
解：由在处的泰勒展开为。得。从而。
即。解得。又。则。故。
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