7.2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
1).，迭代公式；
2).，迭代公式；
3).，迭代公式。
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
解考虑的领域。
1).当时，，，故迭代在上整体收敛。
2).当时，故迭代在上整体收敛。
3).当时，，，故迭代。
发散。7.4.给定函数，设对一切，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。
证明由于，故为单调函数因此方程的根是唯一的。
迭代函数，。由及，得：
故。因此可得。
即。7.8.分别用二分法和牛顿法求的最小正根。
解显然满足方程。另外，当较小时，，故当时，，因此方程的最小正根应在。
记，，由，，知是的有根区间。
对于二分法，计算结果见下表。
此时。若用牛顿法，由于，，故取，迭代结果见下表。
所以的最小正根为。
7.9.研究求的牛顿公式。
证明对一切且序列是递减的。
证明牛顿迭代公式为。
因为，所以，且。
又因为。因而，即对一切，且序列是递减的。
7.12.应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。
解，故，，牛顿法迭代公式为。
当时，为的单根，此时，牛顿法在附近是平方收敛的。
当时，迭代公式退化为。
因而，即迭代公式收敛。
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