第三章。
1、 已知是n阶正定hermite矩阵，在n维线性空间中向量。
定义内积为。
1） 证明在上述定义下，是酉空间；
2） 写出中的canchy-schwarz不等式。
2、 已知，求的标准正交基。
提示：即求方程的基础解系再正交化单位化。
3、 已知。
试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子。
4、 试证：在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的hermite矩阵。
5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知。
6、 试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知。
7、 试求矩阵，使（或），已知。
8、 设n阶酉矩阵的特征根不等于，试证：矩阵满秩，且是hermite矩阵。反之，若是hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵。
证明：若，观察知为的特征值，矛盾，所以矩阵满秩。，要，只要。
故。由知为h的特征值。由hermite矩阵只能有实数特征值可得，即满秩。
9、 若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证：
是酉矩阵。证明：
10、 设均是实对称矩阵，试证：与正交相似的充要条件是与的特征值相同。
证明：相似矩阵有相同的特征值。与正交相似与的特征值相同。
若与的特征值相同，又均是实对称矩阵。所以存在正交阵q，p使。
其中为正交阵。
11、 设均是hermite矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。
证明：同上一题。
12、 设均是正规矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。
同上。13、 设a是hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得。
14、 设a是hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得。
15、 设a为正定hermite矩阵，b为反hermite矩阵，试证：与的特征值实部为0。
证：a为正定hermite矩阵，为满秩的。
是反hermite矩阵，反hermite矩阵的特征值实部为0,所以的特征值实部为0。
16、 设均是hermite矩阵，且a正定，试证：与的特征值都是实数。
证明：同上题。，是hermite矩阵，hermite矩阵的特征值为实数，所以的特征值是实数。
17、 设a为半正定hermite矩阵，且，试证：。
证明：a的特征值为，矩阵的行列式等于特征值之积。特征值为，
18、 设a为半正定hermite矩阵，，b是正定hermite矩阵，试证：。
证明：，为满秩的。
为半正定hermite矩阵，由上题，19、 设a为正定hermite矩阵，且，则。
证明：存在，。又，20、 试证：（1）两个半正定hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定hermite矩阵与正定hermite矩阵之和是正定的。
提示：考查。
21、 设a是正定hermite矩阵，b是反hermite矩阵，试证：a＋b是可逆矩阵。
提示：a为正定hermite矩阵，为满秩的。
是反hermite矩阵，特征值实部为0,，所以。
22、 设a，b是n阶正规矩阵，试证：a与b相似的充要条件是a与b酉相似。
证明：充分性，酉相似相似。
必要性，a，b是n阶正规矩阵，，又a与b相似，与的特征值相同，可设。
23、 设，试证：总存在，使得是正定hermite矩阵，是负定hermite矩阵。
提示：a的特征值为，则的特征值为。
24、 设a是正定hermite矩阵，且a还是酉矩阵，则。
提示：25、 设a、b均为正规矩阵。且，则与均为正规矩阵。
提示：用ｐ１５定理，可以同时酉对角化。
26、 设，试证：是酉矩阵。
提示：27、 设a为n阶正规矩阵，为a的特征值，试证：的特征值为。
提示：，，所以的特征值为。
28、 设，试证：（1）和都是半正定的hermite矩阵；（2）和的非零特征值相同。
提示：（1）
（2），特征值的重数也相同，参见p191
29、 设a是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则。
30、 设，求证以下三条件等价：
（1）为正规矩阵。
解：（1）（2）由。
2）（3）,由。
2）（1）,由。
31、设，则a可以唯一的写为，其中为hermite矩阵。且a可以唯一的写为，其中b是hermite矩阵，c是反hermite矩阵。
解：设，其中为hermite矩阵，则。。唯一性（略）
第3章习题答案
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