第三章运输问题。
表1中有5个数字格，而作为初始解，应有m+n-1=3+4-1=6个数字格，所以给出的调运方案不能作为用表上作业法求解时的初始解。
表2中油10个数字格，而作为初始解，应有m+n-1=5+5-1=9个数字格，所以给出的调运方案不能作为用表上作业法求解时的初始解。
解表1：第一步：先分别计算表1中各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表3
表3第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表3中，第3列是最大差额所在列，第3列中的最小元素为1，可确定产地2的产品先**给销地3，得表4。
同时将运价表中第3列数字划去，如表5所示。表4表5
第三步：对表5中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，重复第。
一、二步，直到给出初始解为止。用此法给出表1的初始解如表6
表6解表2：
表2的初始解如下。
解表1：利用伏格尔法求出初始解。
第一步：先分别计算表1中各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表5。
表5第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表5中，丙列是最大差额所在列，丙列中的最小元素为3，可确定产地2的产品先**给销地丙，因为产地2的产量等于销地丙的销量，所以在（2，丁）处填入一个0，得表6，并同时将运价表中丙列数字和第二行数字划去，如表7所示。
表6表7
第三步：对表7中未划去的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，重复第。
一、二步，直到给出初始解为止。用此法给出表1的初始解如表8所示。
表8利用位势法进行检验。
第一步：在对应表8的数字格处填入单位运价，见表9.
表9第二步：在表9上增加一行一列，在列中填入，在行中填入，得表10.
表10先令=0，然后按，相继地确定，。由表10可见，当=0时，由可得由可得；由可得由，可得；由，可得可得。
第三步：按计算所有空格的检验数，如表11所示。
表11在表11中还有负检验数，说明未得到最优解，可以利用闭回路调整法加以改进，由表11得（2，乙）为调入格，以此格为出发点，作一闭回路，如表12所示。
表122，乙）格的调入量是选择闭回路上具有（-1）的数字格中的最小者，即=min,然后按照闭回路上的正、负号，加上和减去此值，得到调整方案，如表13所示。
表13对表13给出的解，再用位势法求各空格的检验数，如表14所示。所有检验数都非负，故表13中的解为最优解。这时得到的总运费最少，为32.
由于表14中（1，丙）格的检验数为0，故该运输问题有无穷多最优解。
表14解表2：
所有检验数都非负数，故表中的解为最优解，这时得到的总运费最少，为118。
解表3：所有检验数都非负，故表中的解为最优解，这时得到的总运费最少，为90.由于表中（1，丁）格的检验数为0，故该运输问题有无穷多最优解。
解表4：所有检验数都非负，故表中的解为最优解，这时得到的总运费最少，为5520.由于表中（1，丁）格的检验数为0，故该运输问题有无穷多最优解。
1)用10减去利润表上的数字，使之变成一个运输问题，如表1所示。
表1利用伏格法求出初始解，如表2所示。
表2用位势法求各空格检验数，如表3所示。
表3表3中还有非基变量的检验数小于0，利用闭回路法进行调整，把（ⅲ，a）格作为调入格，以此格为出发点，作一闭回路，如表4所示。
表4ⅲ，a）格的调入量θ是选择闭回路上具有（-1）的数字格中的最小者，即然后按照闭回路上的正负号，加上和减去此值，得到调整方案，如表5
表5用位势法求各空格的检验数，如表6所示。
表6表6中所有非基变量的检验数均为非负，故表5的解为最优解。按照此种方案调运，可得最大盈利72000元。
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