思考题3-1
1.对。理由：由可知，和都是方阵，进一步可知，和都是的逆矩阵，又因为逆矩阵是唯一的，所以。
2.对。理由：因为可逆，所以在的两边同时左乘，可得。
3.错。错的原因是：ax=ya中左右两边的位置不同。
4.错。 改为。
5.错。反例，设，，则ab可逆，但a和b都不可逆。若增加条件为方阵，则结论正确。
6. 错。反例，设，则可逆，但不可逆。。若增加条件为方阵，则结论正确。
7.对。，也是对称矩阵。
8.错。反例，设，则，但。
9.对。用反证法可以证明。
证：若的个元素的余子阵都是奇异矩阵，则的所有元素的代数余子式都为0.将的行列式按第一行展开，可知，这与a是非奇异矩阵矛盾，所以的个元素中至少有一个元素的余子阵是非奇异矩阵。
10.对。注：讨论矩阵相乘可交换的问题时，一般要用到。
11. bac=e不正确，bca=e正确。理由：
由为方阵及abc=e可知，可逆，其逆矩阵为bc，所以bca=e.
同理可证。但得不出bac=e.
12.对。矩阵的奇异性由是否等于0决定，对三种初等变换分别讨论可知结论正确。
习题3-11.且。
3.注：
4.注：该题印刷有误，改为求。
解：由，得
5.（1）证：
可逆，且。2）证：反证法。设则可逆。由，得消去，得这与矛盾，所以。
3）证法1：反证法。设a和b中有一个可逆，不妨设a可逆，由ab=o消去a，得b=o，这与b是非零的n阶方阵矛盾，所以a和b都不可逆。
证法2：由ab=o及b是非零的n阶方阵可知，方程组有非零解，所以，a不可逆。
将ab=o转置，得。同理可证，b不可逆。
4)证：由，得。由a可逆，得所以，因而和都可逆。
进一步由和可逆可知，可逆。
5）证：由，得所以可逆，6）证：由可逆且得。将上式转置，得所以可逆且。
7）证：.由和可逆可知，和可逆。因为a+b也可逆，所以可逆，即可逆。
8）证：可逆，
9）证：结论正确。
10）证：.
11）注：在本题中，没告诉可逆。
证：记。因为。
所以即。12）证：结论正确。
6. 证：（1）在的两边左乘右乘，得。
即 2）由，得所以和都可逆，且。
3）由及得。
即 .注：研究矩阵可交换的问题，一般要通过来完成。
9.（1）解：，.
（2）解：由已知，得，10.（1）证：设a和b的阶数分别为m和n.
2）证：由a和b都可逆知，可逆。
3）证：归纳法。只对上三角形可逆矩阵进行证明，下三角形可逆矩阵的证明类似。
设为阶上三角形可逆矩阵。
当时， 为上三角形矩阵，结论成立。
假设结论对于阶上三角形可逆矩阵成立，下面我们对阶上三角形可逆矩阵加以证明。
将分块为其中为的左上角阶子矩阵，.由可逆知，也可逆，
由归纳法假设可知，为上三角形矩阵。因为所以为上三角形矩阵，结论正确。
提高题 3-1
1. 解：由得或
由及，得。因为所以中至少有一行不全为0，
2. 证：由已知，得由可逆可知，也可逆。,所以对调第1列与第2列得。
3. 解：由已知，得。
4. 证：因为，所以可逆，且。
5. 证：因为。
所以可逆，并且。
6. 证法1：由，得。
因为，所以方程组有非零解。进一步可知不可逆。
证法2：反证法。设可逆。通过计算，得。
由消去，得，这与已知矛盾，所以不可逆。
7. 证法1：由，得。
因为，所以和当中有一个为1，另一个为，
又因为。所以，不可逆。
证法2：由，得。
因为，所以和当中有一个为1，另一个为，
又因为，所以，不可逆。
习题3-21.（1）当或时，有非零解；当且时，只有零解。
（2）当或时，有非零解；当且时，只有零解。
2.解法1：
所以。解法2：
解法3： 3.证：必要性。 由知，方程组有非零解，设为方程组的非零解。
令，则且。充分性。 将中的和按列分块，得。
这说明的每一列都是方程组的解。因为所以方程组有非零解，因而。
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