《现代控制理论》第3章习题解答。
3.1 何为状态的能控性？怎样判别线性时不变系统的能控性？能控性在系统设计中有什么作用？
答： 对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态出发，经有限时间后转移到零状态。
对连续系统，总可以通过一个控制律，在有限时间内，将一个能控状态转移到任意状态。
通过检验能控性判别矩阵是否行满秩来判别线性时不变系统的能控性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。
能控性在系统设计中的作用：能控性保证了可以通过外部控制律来改变系统状态的运动行为。
3.2 试判断以下系统。
的能控性。其中：
答：（1） 系统的能控性判别矩阵为。
由于。故根据定理3.1.1，该系统是状态完全能控的。
2） 系统的能控性判别矩阵为。
由于。可以计算出。
因此，是非奇异的。由于。
故能控性矩阵的秩等于3，所以系统状态是完全能控的。
3） 能控性判别矩阵为。
由于该矩阵的第二行均为零，故矩阵不是行满秩的。因此系统是不能控的。
4） 能控性判别矩阵为。
容易看到上述矩阵不满秩，所以系统是不能控的。
3.3 考虑系统。
若都是各不相同的，则该系统是能控的充分必要条件是矩阵不包含元素全为零的行。（注：这一方法的优点在于将不能控的那部分状态确定出来，并且这一方法可以应用到具有个互不相同特征值状态矩阵的状态空间模型）
证明：假设
则系统的能控性矩阵为。
必要性：系统是能控的，欲证矩阵不包含元素全为零的行。
采用反证法。反设中的第行元素全为零，则上述的第行元素也全为零，因此必不满秩。故根据定理3.
1.1，系统是不能控的，这与系统是完全能控的这一假设相矛盾。因此，若系统是能控的，那么矩阵不包含元素全为零的行。
充分性：矩阵不包含元素全为零的行，欲证系统是能控的。
若矩阵中元素不包含全为零的行，且各不相同，则上述中必定不包含元素全为零的行。而且，上述中的任意两行都不成比例。因此，的秩为，即可得系统是能控的。证明完毕。
3.4 若和是系统的能控状态，则对任意的常数和，状态也是能控的。
证明：根据能控性定义，若和是能控的，则存在时间、和在时间段、上定义的控制律、，使得分别在控制律、作用下，从、出发的状态满足、。
不妨设，则定义上的控制律。
则在该控制律作用下，闭环系统以为初始状态的状态轨线为。
根据定义，是能控的。
3.5 若系统（3.1.
1）是能控的，则对任意的状态和，试求一个控制律，使得系统状态从转移。（这说明了只要系统是能控的，则总可以找到适当的控制律，使得系统从初始状态转移到任意给定的状态。）
答：由于系统是能控的，故存在常数，使得是非奇异的，即存在。由状态模型的运动分析可得：
故若取。容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。
3.6 若系统是能控的，则对任意的时间，由式（3.1.7）给出的矩阵都是非奇异的。
证明：若系统是能控的，则由定理3.1.1知。若反设存在一个常数，使得由式（3.1.7）给出的矩阵是奇异的，则存在非零向量，使得。
从而有。由积分性质和上式可得。
在上式两端依次对求导，可得。
特别的，在以上各等式中令，可得，即，这与条件矛盾。因此，若系统是能控的，则对任意的时间，矩阵都是非奇异的。
3.7 考虑下图中由两辆小车所组成的系统：
图3.3 小车系统。
其中的和分别是作用在小车1和小车2上的外力，和则是小车1和小车2的位移，假定小车的质量，连接两辆小车弹簧的弹性系数，则可得到该系统的状态空间模型是，其中：
试分析该系统的能控性。结合对象分析该系统能控性的实际意义。
答：系统的能控性判别矩阵为。
而。而且，故能控性判别矩阵满秩。因此，系统是完全能控的。
该系统能控性的实际意义是通过调节作用在小车1和小车2上的外力和，可以使小车与的位移和达到期望值。
3.8 对一个线性时不变系统，若状态是能控的，试求一个控制律，使得系统状态从转移到。
答： 若状态是能控的，则根据能控性定义，存在时间和在时间段上定义的控制律，使得。
由此可得：现在的问题是要找到一个控制律，使得。
利用上面两个关系式，可得。
由后一个等式，取。
3.9 若一个线性时不变系统是能控的，试求一个控制律，使得系统状态从转移到。
答： 根据题3.5所得结论，得控制律为 ：
3.10 （a） 对一个线性时不变系统，若状态是不能控的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有的时间仍是不能控的吗？
b）用以下系统来检验你对（a）的答案：
答：（a）一个线性时不变系统，若状态是不能控的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间仍是不能控的。
反证法：反设以上结论不成立，即若状态是不能控的，而存在某个时刻，使得以为初始状态的自治系统时间响应在时刻的状态是能控的。
根据能控性定义，状态能控意味着：存在一个适当的控制律，在有限时间内将该状态转移到零状态。因此，若选取。
则。故状态是能控的，和假定矛盾。
b）系统的状态转移矩阵为。
取一初始状态，则。
因此，无论选取什么样的控制律，都不能使得从出发的状态转移到零状态，因此，状态是不能控的。进而，对由该状态出发的自由运动，在任意时刻处的状态是。
类似于前面的推导，由为初始状态的轨线在时刻的值为。
它也是无法通过任意控制律来转化为零的，因此也是不能控的。
3.11 何为输出能控性？怎样判别线性时不变系统的输出能控性？状态能控性和输出能控性有何区别和联系？
答：对于一个系统，若对任意的初始输出，存在有限时刻和在时间段上定义的控制信号，使得在该控制作用下，系统的输出从初始输出转移到任意给定的输出，则称系统是输出能控的。
通过判断输出能控矩阵是否行满秩来判别线性时不变系统的输出能控性。若输出能控矩阵是行满秩的，则系统是输出能控的。
状态能控性是讨论通过控制来改变系统状态行为的问题，输出能控性则是通过控制输入来改变系统输出行为的问题。二者之间没有必然的因果关系。
3.12 何为状态的能观性？怎样判别线性定常连续系统的能观性？能观性在系统设计中有什么作用？
答： 状态能观性反映的是从系统输出观测系统状态的能力。若以非零初始状态产生的输出响应恒为零，即对所有的时间，，则称系统是不能观的。
若系统中没有不能观的状态（零状态除外），则称系统是能观的。
通过判断能观性判别矩阵是否满秩来判别线性时不变系统的能观性。若。
则系统是能观的。
在系统的设计中，需要引入适当的状态反馈，而系统的某些状态变量是无法实际获得的。在系统能观的条件下，可以利用系统中可直接测量的输出向量和输入向量来重构系统的状态。也可用于一些难以直接测量的信号的软测量。
3.13 若系统的状态空间模型为约当标准型，怎样确定系统的能控性和能观性，有无特例情况？
答：能控性：
当系统的矩阵的特征值是两两相异的，经过线性变换后的约当标准型为。
则系统完全能控的充分必要条件是，不包含零行向量。
特例情况是：
当系统矩阵的特征值为(重)， 重)，…重)，且。由线性变换得其约当标准型。
其中。而，则系统完全能控的充分必要条件是，由的最后一行所组成的矩阵。
对均为行线性无关。
能观性：当系统的矩阵的特征值是两两相异的。经过线性变换后的约当标准型为。
则系统完全能观的充分必要条件是，不包含零列向量。
特例情况是：
当系统矩阵的特征值为(重)， 重)，…重)，且。由线性变换得其约当标准型。
其中。且，则系统完全能观的充分必要条件是，由的首列所组成的矩阵。
对均为列线性无关。
3.14 给定二阶系统。
为使系统同时能控能观，确定参数和应满足的关系式。
答：若系统能控，根据能控性判别矩阵有：
则。若系统能观，根据能观性判别矩阵有：
则。综上，要使系统同时能控能观，参数和应满足关系式：。
3.15 对一个线性时不变系统，若状态是不能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有的时间仍然是不能观的。
答： 反证法：假设对一个线性时不变系统，若状态是不能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间是能观的。
若以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间是能观的，则可知：以非零初始状态产生的自治系统响应输出恒不为零，即对所有的时间，都有。
设，其中是系统的初始状态，则有
因此，以非零初始状态产生的输出响应也应是恒不为零的。从而可得，状态也是能观的，假设不成立。
综上，对一个线性时不变系统，若状态是不能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间仍是不能观的。
3.16 （a） 对一个线性时不变系统，若状态是能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有的时间仍是能观的吗？
b）用以下系统来检验你对（a）的答案：
答：（a）对一个线性时不变系统，若状态是能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有的时间仍是能观的。
反证法：假设对一个线性时不变系统，若状态是能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间是不能观的。那么，由能观性定义可得，以为初始状态的输出响应为。
现以为初始状态。由于状态是能观的，因此由能观性定义知：
这与假设中的条件相矛盾， 故对一个线性时不变系统，若状态是能观的，则以为初始状态的自治系统时间响应对所有时间仍是能观的。
b）系统的状态转移矩阵为：
取一初始状态，可得
故该初始状态是能观的，从而可知，也是能观的。
因此， 也是能观的。
3.17 考虑标量系统，根据定理3.2.2，用上的输出来确定初始状态，画出作为的函数的图形，并解释当时该函数的特性。
答：因为，所以，从而可得，因此，初始状态可表示为。
作为的函数的图形如下：
当时，该函数趋向于无穷大。
3.18 验证系统。
是能观的，但若将系统的观测方程换成为。
则相应的系统是不能观的。试从这个结果回答：是否系统的测量量越多，对系统的能观性越有利？
答：首先判断原系统的能观性判别矩阵是否是列满秩的。
因此，原系统是能观的。
将系统的观测方程更改后，状态空间模型为。
该状态空间模型的能观性判别矩阵为。
显然有一列全部为零，故能观性判别矩阵不是列满秩的。因此，新的系统是不能观的。
第3章习题答案
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