3.1 设。
求，并作图表示，。（于2 89 2.1）
解： 3.2求下列序列的傅里叶变换，并分别给出其幅频特性和相频特性。
解：（1）对，有。
幅频响应为，想频响应为。
（2）对，有。
其中。将上述两项相加即得。
3）对，有。
幅频特性为。
相频特性为。
（4）对，有。
幅频特性为。
相频特性为。
3.3 已知以下，求idft
k=m 1k=
其他kk=m
2k=其他k
解： 3.4 证明dft的对称原理，即假设：（西电 94 4）
证明：。证：因为，所以。
由于。所以。
3.5 证明：若x(n)实偶对称，即，则x(k)也实偶对称，若x(n)实奇对称，即，则x(k)为纯虚函数并奇对称。（西电 94 7）
证：(1)由教材可知，如果将x(n)表示为，则，其中，是x(k)的共轭对称分量；，是x(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)如果为实序列，则，故。
2) 由dft的共轭对称性可知，如果，则。
所以当时，等价于上式中，中只有成分，所以只有实部，即为实函数。又由(1)证明结果知道，实序列的dft必然为共轭函数，即。
所以为实偶对称。同理当时，等价于只有成分(即)，故只有纯虚部，且由于为实序列，即共轭对称，为纯虚奇函数。
3.6 证明离散帕塞瓦尔定理。若，则：
证：3.7 已知，x(n)与y(n)均为n长实序列。设。
试求，以及x(n)和y(n)。
解：由dft的共轭对称性可知。
1. 令，只要证明，因为，共轭对称。
共轭反对称。所以，
3.8已知两个有限长序列：
用直接卷积法和dft变换两种方法分别求解。
解：（1）直接卷积法：
2）dft变换法：因为。
所以：3.9已知。
1）求并画出零极点分布图；
2）求频谱并画出其幅度和相位图；
3）求，并画出其幅度和相位图，且与对照。
解：(1)
因为，所以得极点为。
幅频响应为：
相频响应为：
与的关系为：
3.10知x(n)是长度为n的有限长序列。，现将x(n)的每二点之间补进个零值，得到一个长度为rn的有限长序列y(n)
x(n/r) n=ir, i=0,1,2,3,……n-1
y(n)=0 其他n
求：与的关系。（于2 91 2.13）
解：由于 可得
所以 是将（周期为n）延拓r次形成的，即周期为。
3.11设x(n)是一个8点的有限长序列，y(n)是一个20点的有限长序列。现将每一序列作20点dft，然后再乘，再计算idft，令r(n)表示它的离散傅立叶反变换，即：。
指出r(n)中的那些点相当于x(n)与y(n)的线性卷积中的点。（于2 94 2-23 ）
解：利用循环卷积的公式：两个宽度为n的有限长序列和，其离散傅里叶变换为和，可以求得另外一个序列，使其离散傅里叶变换的系数为，则的表达式为。
所以，我们利用上式可知循环卷积。
而x(n)和y(n)的线性卷积为。
其中，（因为20+8-1=27）时有值，其他时为0。
由于线性卷积在时有值，而循环卷积在时有值，所以我们以逐一考虑和异同处，可以得出：对于两者是不同的，而从n=7开始到n=19,两者是相同的。
3.12.设信号，通过系统。
1）求系统的输出；
2）试用循环卷积计算；
3）简述通过dft来计算的思路。
解：（1）由题可知：
2）按照循环卷积的方法：已知与的长度分别为n=4，m=4，则的长度应为，不足补零，则，卷积得： =
3）用dft计算的思路：
分别算出、的dft变换、；
再计算出；由循环卷积定理得；
对求dft反变换得。
第3章习题答案
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第3章习题答案
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