7．3．2 多边形的内角和。
教学目标。1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
3.通过公式的猜想、归纳、推断一系列过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，培养学生对学习数学的创新精神。
教学重点、难点。
1．重点：1）多边形的内角和公式．
2）多边形的外角和公式．
2．难点：多边形的内角和定理的推导．
教学过程。一、**。
1．我们知道三角形的内角和为180°．
2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．
3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？
★ 画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．
从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．
以上属于第一类型的问题，基本都是大家已经知道的基础的层次较低的问题，是事实水平的问题，通常是以了解个别范例的事实为目标，要求学生在对事实进行感知的基础上解决问题。
二、思考几个问题。
1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
★2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？
★★3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
以上属于第二类型的问题，仍然是事实水平的问题，但需要学生进行必要的推理等思维活动方能解决这些问题。这是一个略高层次的问题。
设多边形的边数为n，则。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）
分法一：在五边形abcde内任取一点o，连结oa、ob、oc、od、oe，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．
分法二：在边ab上取一点o，连oe、od、oc，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠aob舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．
以上是第三类型的问题，也是这节课主要要解决的较高层次的问题，问题是以形成概念、掌握规律或原理为目标，注意引导学生从个别扩展到“类”，再从“类”把握其背后的规律。学生不仅不需要完成抽象概括的过程，还要完成从系统化到具体化的过程。
三、例题。例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：四边形abcd的∠a＋∠c＝180°．求：∠b与∠d的关系．
分析：本题要求∠b与∠d的关系，由于已知∠a＋∠c＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．
解：略。这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
★例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形abcdef的外角．
求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．
这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
解：略。即：多边形的外角和等于360°．
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．
例题，特别是例2属于第四类问题，它运用所掌握的概念、规律或原理，把握该“范例”的上位主题，解决以主题范围内的定向问题为目的，引导学生发散思维，主动参与，互动合作，解决问题。
★★思考：你还有其他方法来说明多边形的外角和等于360°吗？
该问题属于第五类问题，在主题范围内自行发现与主题相关的综合性问题，自行提出解决方案，解决问题，要求学生不仅提高解决真实问题的能力和创造性，同时要实现对人、对世界的态度、情感和价值观。
如下图，从多边形的一个顶点a出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到a点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和就等于360°．
四、课堂练习
课本p89练习题．
p90第题。
五、课堂小结。
引导学生总结归纳本节课主要内容并提出自己的想法或收获．
六、课后作业
课本p90第题；★★课本p90第6题；
★★1、多边形的一个外角和所有内角和加起来等于600，求多边形的边数？
2、若多边形的外角和等于内角和的三分之二，则这个多边形的边数是多少？
课内问题设置和课后的作业设计我都采取了分层方法，“★属于基本的、简单的知识性型的题，这种题要求全部同学都做；“★是较高层次的题型，对应的就是程度好点的同学必须做；“★是有一定难度和挑战性的题型，这种题针对的就是程度很好，能力绰绰有余的同学。这样可以更好的照顾到学生的差异性，使作业评价能有实效，鼓励学生尝试做更高一星级的题目，从而激发学生的挑战性。 “分层设计”学生作业、“分类评价”学生作业的方法，使好、中、差各类学生都能形成积极进取的学习风气，有利于各类学生通过作业巩固所学知识，形成技能，发展智力。
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