九。年。级。
上。册。数。学。
教。案。
第21章二次根式。
21.1 二次根式。
教学目标 1、了解二次根式的概念、
2、掌握二次根式的基本性质、
教学过程。一、提出问题。
上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号，现在请同学们思考并回答下面两个问题：
1、表示什么？
2、a需要满足什么条件？为什么？
二、合作交流，解决问题。
让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；
1、当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；
2、当a是零时，表示零，也叫零的算术平方根；
3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、
三、归纳特点，引入二次根式概念。
1、基本性质、
问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗？
让一个学生回答、其他学生补充，概括为： (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， (a≥0)是一个非负数，即≥0(a≥0)。
问题2 ()2(a≥0)等于什么？说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：()2=a(a≥0)，如()2=4，()2=2等、
以上两个问题的结论就是基本性质，特别是()2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。反过来，把()2＝a(a≥0)写成a=()2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：
3=()2，0.3= (2
提问：(1)0=()2对不对？
(2)－5=()2对不对？如果不对，错在**？
2、二次根式概念。
形如(a≥0)的式子叫做二次根式、
说明：二次根式必须具备以下特点；
(1)有二次根号；
(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断， (a<0)、、a 四、范例。
例1、要使式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
提问：若将式子改为，则字母x的取值必须满足什么条件？
五、课堂练习。
pl0页练习、
六、思考提高。
我们已经研究了()2(a≥0)等于a，现在研究等于什么？
提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？
2、在中，a的取值有没有限制？
3、取一些数值来验证。通过验证，你能发现什么规律？
因此，今后我们遇到时，可先改写成a的绝对值｜a｜，再按照a取正数值，0还是负数值来取值、例如当x<0时，＝｜4x｜＝－4x
4、()2与是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流。
七、小结 1、什么叫做二次根式？你们能举出几个例子吗？
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
3、二次根式有哪些性质？
八、作业。习题22.1第题、
教学后记：21.2 二次根式的乘除法。
第一课时二次根式的乘除法。
教学目标。1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式、
3、培养学生合情推理能力。
教学过程。一、复习提问
1、什么叫做二次根式？下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
2、二次根式有哪些性质？计算下列各题：
二、提出问题，导入新知
1、试一试。
计算： (1
提问：观察以上计算结果，你能发现什么？
2、思考。×与是否相等？
提问：(1)你将用什么方法计算？
(2)通过计算，你发现了什么？是否与前面试一试的结果一样？
3、概括。让学生观察以上计算结果、归纳得出结论：×=a≥0，b≥0)
注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。
三、举例应用。
例1、计算。
说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成，而应化简成4。
等式×= a≥0，b≥0)，也可以写成＝×(a≥0，b≥0)
利用它可以进行二次根式的化简，例如： =a2
例2、化简。
说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。
四、课堂练习
1、计算下列各式，将所得结果化简：
2、p12页练习
五、想一想。
1、××与是否相等？a、b、c有什么限制？请举一个例子加以说明。
2、等于×× 吗？
3、化简：
六、小结。这节课我们学习了以下知识：
1、二次根式的乘法运算法则，即×＝(a≥0，b≥0)
2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即＝×(a≥0，b≥0)……
要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b**现了负数，等式就不成立、想一想，＝×成立吗？为什么？
3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质＝a(a≥ 0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识、
七、作业。习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题。
教学后记：第二课时二次根式的乘除法。
教学目标。1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、
4。经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的**精神和合作交流的习惯。
教学过程。一、创设问题情境。
问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？
问题2 是否也有二次根式的除法法则呢？
问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢？
二、加强合作，探索规律。
让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：
提问：1、 a和b有没有限制？如果有限制，其取值范围是什么？
2、 ＝a≥0，b>0)成立吗？为什么？请举例。
三、范例。例1、计算。
教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。
提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法？如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便？
例2、化简：(要求分母不带根号)
说明：二次根式的化简要求满足以下两条：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做。
化简：教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
五、课堂练习
p12 练习1、(3)、(4)
六、小结。本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即＝(a≥0，b>0)，并利用它进行计算和化简。化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
具体办法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面、化简的具体方法可用于计算。
七、作业。p14页习题(3)
教学后记：21.3二次根式的加减法。
教学目标 1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式．
2、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算．
3、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法．
教学过程。一、创设问题情境
1、化简：2．试一试计算：
二、做一做。
1．观察以上两道计算题，你联想到什么？
让学生类比、联想，讨论、交流，然后举手回答，老师归纳，评价．
2．你能试着解决它吗？
让学生动手计算，鼓励学生加强合作，同桌，上下桌同学可以互相交流，并请两位同学上台板演，教师进行讲评．
上面两个例子表明．遇到两个二次根式相加(或加减)时，我们希望利用分配律．这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同．这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同．这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢？
3．同类二次根式。
像3和－2，3和2这样的两个二次根式，称为同类二次根式．
说明：(1)被开方数相同．问：·与3是不是同类二次根式？
(2)二次根式不能再化简．
(3)与二次根式的系数无关．
4)你还能说出几个与3同类的二次根式吗？
三、举例与应用。
二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并．
例1：计算 3＋－2－3
例2．计算＋＋
提问：1．这里三个加项中有同类二次根式吗？
2．能否将它们化简？
化简情况详见上面，可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是，将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果。
小结：先化简，再合并同类二次根式。
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