圆复习课（一）
教学目标】1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；
2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；
教学内容】一、圆的有关概念。
1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。
2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。
4）一个圆的半径长为，点p到圆心的距离为d，则点p在圆外，；点p在圆上，；点p在圆内，。
5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。
6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。
例题分析。例1：p是平面内任意一点，到圆上的最大距离是8，最小距离是2，求该圆的半径。
例2：判断正误：
1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；
2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；
3）经过三个定点，只能作一个圆；
4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。
5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；
6）任何一个四边形都有一个外接圆；
7）等腰三角形的外心一定在它的内部；
8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；
9）等腰三角形的外接圆的圆心必在其顶角的平分线上；
10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；
例3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。
例4：已知△abc，ac=3，bc=4，∠c=90°，以点c为圆心作⊙c，半径为r。（1）当r取什么值时，点a、b在⊙c外。（2）当r在什么范围时，点a在⊙c内，点b在⊙c外。
巩固练习。1、在△abc中，如果o是△abc的外心，且∠a=73°，那么∠boc=__
2、锐角三角形外心的位置在___直角三角形外心的位置在___钝角三角形外心的位置在。
3、直角三角形两条直角边分别为8cm、15cm，则其外接圆半径长为___
4、经过不共线三点a、b、c的圆的圆心是___半径是可以画___个圆。
5、经过m、n两点的圆的圆心在 ，这样的圆有个。
6、圆的半径为r，则其内接直角三角形斜边长为 ，内接正方形边长为 ，内接等边三角形边长为 。
7、已知⊙o的半径为4cm，a为线段op的中点，当op=7cm时，点a与⊙o的位置关系是。
8、直角三角形两条直角边长为a、b，则直角三角形的外接圆半径是。
9、已知⊙o的半径为5，点o到弦ab的距离为3，则⊙o上到弦ab所在直线的距离为2的点有个。
10、 到定点的距离等于定长的点的轨迹是。
11、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是。
12、⊙o的半径r = 10 cm，圆心到直线l的距离om = 8 cm，在直线l上有一点n，且mn = 6 cm。则点n与圆o 的位置关系是。
二、圆心角、弧、弦、弦心距。
1）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径。以圆心为顶点的角叫做圆心角。
2）圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。圆心到弦的距离叫做弦心距。
能够重合的两条弧称为等弧；半径长相等的两个圆一定能够重合，把半径长相等的两个圆称为等圆。
3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。
4）圆心角的度数等于它所对应弧的度数。
例题分析。例1：（1）如果两个圆心角相等，那么（ ）
a．这两个圆心角所对的弦相等； b．这两个圆心角所对的弧相等。
c．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等； d．以上说法都不对。
2）在同圆中，圆心角∠aob=2∠cod，则两条弧ab与cd关系是（ ）
a． =2 b． >c． <2 d．不能确定。
3）⊙o中，如果=2，那么（ ）
a．ab=ac b．ab=ac c．ab<2ac d．ab>2ac
例2：如图，d、e分别是⊙o 的半径oa、ob上的点，cd⊥oa，ce⊥ob，cd=ce，则ac与bc弧长的大小关系是 。
例3：∠aob=90°，c、d是ab三等分点，ab分别交oc、od于点e、f，求证：ae=bf=cd。
巩固练习。1、在中，，以bc为直径的圆o与ab、ac分别相交于点d、e，试判断的形状。
2、在圆o中，oa、ob是两条互相垂直的半径，m是弦ab的中点，过m作mc平行于oa且交于c，求的度数。
3、已知点ｅ是⊙o上的点，ｂ、分别是劣弧ａｄ的三等分点，，则∠aed的度数为___
4、请用尺规作图：四等分弧ab（保留痕迹，不写作法）。
5、如图⊙o是是等腰三角形abc的外接圆，ab=ac,d是弧ac的中点，已知∠ead=114o，求∠cad在度数。
6、如图，已知ab是⊙o的直径，，∠boc=400，那么∠aoe
7、如图，⊙o是△abc的外接圆，已知∠b=60°，则∠cao的度数是。
8、⊙o的半径为1，ab是⊙o 的一条弦，且ab=，则弦ab所对圆心角的度数为 。
三、垂径定理以及它的推论。
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论： 2）在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距四组两种有一组量相等，那么它所对应的其余的量也相等。
例题分析。例1：判断：
1）垂直于弦的直线必平分这条弦。
2）平分弦的直径必垂直于这条弦。
3）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上。
4）如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等。
6）如图，如果ae=bf，那么。
7）圆o与圆是等圆，则ab=cd。
例2：计算。
1）如图，已知圆o中，，求圆的直径长和弦bc的长。
2）已知ab、cd是⊙o中互相垂直的弦，并且ab把cd分成3cm和7cm的两部分，则两条弦和圆心的距离分别为cm。
3）已知⊙o的半径为10cm，弦mn∥ef，且mn=12cm，ef=16cm，则弦mn和ef之间的距离为。
4）已知⊙o中，弦ab=8cm，圆心到ab的距离为3cm，则此圆的半径为5）在半径为25cm的⊙o中，弦ab=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是。
例3：应用。
1、在1300多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度ab（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高cd（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径。
例4：综合应用。
1、在直径为ab的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为ab，顶点c在半圆周上，其他两边分别为6和8。现要建造一个内接于三角形abc的矩形水池defn其中，de在ab上，如图所示的设计方案是使ac=8，bc=6。
1）求△abc中ab边上的高h；
2）设dn=x，当x取何值时，水池defn的面积最大？
3）实际施工时，发现ab上距b点1.85的m处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。
2、如图，直角梯形abcd中，∠a=∠b=90，ab = 7，bc－ad = 1。以cd为直径的圆与ab有两个不同的交点e，f，且ae = 1。问线段ab上是否存在点p，使得以p、a、d为顶点的三角形与以p，b，c为顶点的三角形相似？
若不存在，说明理由；若存在，这样的p点有几个？并求ap的长。
巩固练习。1、过⊙o内一点m的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则om的长等于 。
2、如图所示，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab于点p，cd=10cm，ap：pb=1：5，那么⊙o的半径等于 。
3、如果⊙o中弦ab与直径cd垂直，垂足为e，ae=4，ce=2，那么⊙o的半径等于 。
4、如图所示，同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点，且ac=cd，ab的弦心距等于cd的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比 。
5、如图，用一块直径为的圆桌布平铺在对角线长为的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为。
第2题图第3题图第4题图第5题图。
6、如图，已知为圆的弦（非直径），为的中点，的延长线交圆于点，，且交的延长线于点． ，求圆的半径。
7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径。
8、已知圆o的半径为10，弦ab=16，p是弦ab上的一个动点，则op的取值范围是 。
9、是的直径，弦于点，连结，若，，则=
10、如图，弦cd垂直于⊙o的直径ab，垂足为h，且cd＝，bd＝，则ab的长为。
四、直线和圆的位置关系。
1）相离、相切、相交：
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
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