嘉兴一中高二数学寒假作业——立体几何。
一、选择题
1. （1）在棱柱中（ ）
a．只有两个面平行 b．所有的棱都平行。
c．所有的面都是平行四边形 d．两底面平行，且各侧棱也互相平行。
答案：d。2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是。
（a）2b）1
cd）答案】 b
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式。
如图，该立体图形为直三棱柱。
所以其体积为。
3.空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）条件。
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要。
答案 c4.棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于。
a)30° (b)45°(c)60° (d)90°
答案】c命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法。
解析】延长ca到d，使得，则为平行四边形，就是异面直线。
与所成的角，又三角形为等边三角形，5.棱台被平行于底面的平面截成上、下两个棱台，它们的体积分别是和，则和的函数图像大致是（ ）
答案：c。解析：设棱台的体积为v（为定量），则x+y=v，故选c。
6. 若是两条异面直线外的任意一点，则（b ）
a．过点有且仅有一条直线与都平行。
b．过点有且仅有一条直线与都垂直。
c．过点有且仅有一条直线与都相交。
d．过点有且仅有一条直线与都异面。
7.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积( )
a． b． 1 c． d．
答案： a8.设平面，垂足。
分别为，若增加一个条件，就能推出。
现有① ②与所成的角相等；
与在内的射影在同一条直线上；④∥
那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是。
个个个个。答案 c
9.过正方体的顶点a作直线l，使l与棱，所成的角都相等，这样的直线l可以作。
a.1条 b.2条 c.3条 d.4条。
答案】d解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点a位于三条棱之间的直线有一条体对角线ac1，第二类：
在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
10 . 如图，正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1， e=x，dq=y，dｐ＝ｚ大于零），则四面体peｆｑ的体积。
（ａ）与ｘ，ｙ都有关 （ｂ与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关。
（ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （ｄ与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关。
答案】d．解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。
11.如图，m是正方体的棱的中点，给出下列命题。
过m点有且只有一条直线与直线、都相交；
过m点有且只有一条直线与直线、都垂直；
过m点有且只有一个平面与直线、都相交；
过m点有且只有一个平面与直线、都平行。
其中真命题是：
ab． c． d．
答案】c12. 的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
abcd．答案 c
解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图。
设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以。
当且仅当时取等号。
二、填空题。
1．若向量=（1,1,x）, 1,2,1), 1,1,1)满足条件(－)2)=-2,则。
解析】，，解得．
2．水平放置的△abc的斜二测直观图如右图所示，已知，则ab边上中线的实际长度为。
答案：2.5。
3．如图，二面角的大小是60°，线段。，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是。
解析】过点a作平面β的垂线，垂足为c，在β内过c作l的垂线。垂足为d
连结ad，有三垂线定理可知ad⊥l，故∠adc为二面角的平面角，为60°
又由已知，∠abd＝30°
连结cb，则∠abc为与平面所成的角。
设ad＝2，则ac＝，cd＝1
ab＝＝4sin∠abc＝
4．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为___
5. 如图，已知正四棱台abcd－a1b1c1d1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段b1c的长是___
解析：连结上底面对角线b1d1的中点o1和下底面bd的中点o，得棱台的高oo1，过点b1作oo1的平行线交bd于点e，连结ce，在△bce中，由bc＝2，be＝，∠cbe＝45°，利用余弦定理可得ce＝，故在rt△b1ce中易得b1c＝＝.
答案：6.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为。
答案：8π7.设α、β为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：
若α⊥γ则α∥β
若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β
若α∥βlα，则l∥β；
若α∩βl，β∩m，γ∩n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是___
解析：①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，m，lβ，∴l∥m，又α∩βl，且mβ，∴m∥α，又mγ且γ∩αn，∴m∥n，∴有l∥n故④对．
答案：28．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形abcd为正方形，e、f分别为pa、pd的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
直线be与直线cf是异面直线；
直线be与直线af是异面直线；
直线ef∥平面pbc；
平面bce⊥平面pad.
其中正确结论的序号是___
解析：由ef∥ad∥bc，知be、cf共面，①错；②正确；③正确；④错．
答案：②③9.设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：
①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是要求填上所有正确结论的序号）
答案 ①②三、解答题。
1. 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕ab旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
解：由题意知， 所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面。
s半球=8π ，s圆台侧=35π ，s圆台底=25π.
故所求几何体的表面积为68π .
由，所以，旋转体的体积为。
2.所在的平面互相垂直，且求：
．直线ad与平面bcd所成角的大小；
⑵．直线ad与直线bc所成角的大小；
．二面角a-bd-c的余弦值．
如图，在平面abc内，过a作ah⊥bc，垂足为h，则ah⊥平面dbc，∴∠adh即为直线ad与平面bcd所成的角
由题设知△ahb≌△ahd，则dh⊥bh，ah=dh，∴∠adh=45°
∵bc⊥dh，且dh为ad在平面bcd上的射影，bc⊥ad，故ad与bc所成的角为90°
过h作hr⊥bd，垂足为r，连结ar，则由三垂线定理知，ar⊥bd，故∠arh为二面角a—bd—c的平面角的补角设bc=a,则由题设知，ah=dh=,在△hdb中，hr=a，∴tanarh==2
故二面角a—bd—c的余弦值的大小为
3.如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，为的中点。
(ⅰ)求证：∥平面；
ⅱ)求证：平面；
ⅲ)求二面角的大小。
4. 如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.
1）求点到平面的距离；
2）求平面与平面所成二面角的正弦值。
解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力。
解法一：（1）取cd中点o，连ob，om，则ob⊥cd，om⊥cd.又平面平面，则mo⊥平面，所以mo∥ab，a、b、o、m共面。
延长am、bo相交于e，则∠aeb就是am与平面bcd所成的角。ob=mo=，mo∥ab，mo//面abc，m、o到平面abc的距离相等，作ohbc于h，连mh，则mhbc，求得：
oh=ocsin600=,mh=,利用体积相等得：。
2）ce是平面与平面的交线。
由（1）知，o是be的中点，则bced是菱形。
作bf⊥ec于f，连af，则af⊥ec，∠afb就是二面角a-ec-b的平面角，设为。
因为∠bce=120°，所以∠bcf=60°.
所以，所求二面角的正弦值是。
点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决。
解法二：取cd中点o，连ob，om，则ob⊥cd，om⊥cd，又平面平面，则mo⊥平面。
以o为原点，直线oc、bo、om为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图。
ob=om=，则各点坐标分别为o（0，0，0），c（1，0，0），m（0，0，），b（0，-，0），a（0，-，2），1）设是平面mbc的法向量，则，由得；由得；取，则距离。
设平面acm的法向量为，由得。解得，，取。
又平面bcd的法向量为，则。
设所求二面角为，则。
点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎。
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