2023年自主招生数学**试题--北约。
考试时间：90分钟，总分100分）
1、解答题。
1.（12分）设，求证：当正整数时。
2.（13分）在平行四边形abcd中，ab=x，bc=1，对角线ac与bd的夹角，记直线ab与cd的距离为，求的表达式，并写出x的取值范围。
3.（15分）已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：
4．（15分）
如图所示，ab是⊙o的直径，g为ab延长线上的一点，gcd是⊙o的割线，过点g作ab的垂线，交ac的延长线于点e，交ad的延长线于点f，过g作⊙o的切线，切点为h.
求证：(1)c，d，f，e四点共圆；
2)gh2＝ce·gf.
5.（15分）已知点为抛物线内一定点，过e作斜率分别为的两条直线交抛物线于a，b，c，d，且m，n分别是线段ab，cd的中点；
1）当且时，求的面积的最小值。
2）若证明：直线mn过定点。
6.（15分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：
ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？
ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
7.（15分）某校数学兴趣小组由位同学组成，学校专门安排n为老师作为指导教师，在该小组的一次活动中，每位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导老师各提一个问题，以上所有问题各不相同，共有51个问题，试求m，n的值。
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