2013高考总复习江苏专用（理科）
第八篇立体几何初步
空间向量及其坐标运算。
a级基础达标演练 (时间：45分钟满分：80分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．已知向量a＝，b＝(x,1,2)，其中x＞0.若a∥b，则实数x等于。
解析 a∥b且x＞0存在λ＞0使a＝λb＝(λx，λ，2λ)
答案 x＝4
2．以下四个命题中正确的是___填序号)．
空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示。
若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底。
△abc为直角三角形的充要条件是·＝0
任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底。
解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μc＋a)，(1－μ)a＝(λ1)b＋(λc，，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与为空间向量基底矛盾．
答案 ②3．给出下列四个命题：
若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.
若＝x＋y，则p，m，a、b共面；
若p，m，a，b共面，则＝x＋y.
其中真命题的序号是___
解析其中①③为正确命题．
答案 ①③4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)若a，b，c三向量共面，则实数λ等于___
解析由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，t＋4μ，3t－2μ)，t＝，μ
答案 5．如图，已知空间四边形oabc，ob＝oc，且∠aob＝∠aoc＝，则cos〈，〉的值为___
解析设＝a，＝b，＝c
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，＝a·(c－b)＝a·c－a·b
|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉0.
答案 06．如图所示，已知空间四边形oabc，其对角线为ob、ac，m、n分别为oa、
bc的中点，点g**段mn上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为。解析 ∵＝
x，y，z的值分别为，，.
答案 ，7．在空间四边形abcd中。
解析如图，设＝a，＝b，＝c，＋·
a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0
答案 0二、解答题(每小题15分，共45分)
8．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．
证明设a＝xb＋yc
由已知条件。
解得x＝－，y＝
即a＝－b＋c
故a，b，c三个向量共面．
9．如图，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，g为△bc1d的重心，1)试证a1、g、c三点共线；
2)试证a1c⊥平面bc1d；
3)求点c到平面bc1d的距离．
1)证明因为g是△bc1d的重心，所以。
c＝(c＋c＋)，所以＝c＋b＋＝c＋c＋＝3，∥，即a1、g、c三点共线．
2)证明设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a＋b＋c，＝c－a，∴·a＋b＋c)·
c－a)＝c2－a2＝0，⊥，即ca1⊥bc1，同理可证：ca1⊥bd，因此a1c⊥平面bc1d.
3)解 ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，即||＝a，因此||＝a.即c到平面bc1d的距离为a.
10．如图，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分别是ab、cd的中点．
1)求证：mn⊥ab，mn⊥cd；
2)求mn的长．
解 (1)设a＝p，a＝q，a＝r.
由题意可知：|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
m＝a－a＝(a＋a)－a
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