2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学。本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数最小正周期为，则 .
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．
3．若将复数表示为是虚数单位）的形式，则 ．
4．若集合，则中有个元素。
5．已知向量和的夹角为，，则 ．
6．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是
7．某地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的s的值为
8．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是。
9．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点**段ao上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程。
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为。
11．设为正实数，满足，则的最小值是。
12．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2c，以o为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为。
13．满足条件的三角形的面积的最大值。
14．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．
1）求的值；
2）求的值．
16．如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：
1）直线面；
2）平面面．
17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的两个顶点a，b及cd的中点p处．ab＝20km，bc＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与a，b等距的一点o处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道ao，bo，po．记铺设管道的总长度为ykm．
1）按下列要求建立函数关系式：
i）设（rad），将表示成的函数；
ii）设（km），将表示成的函数2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
18．在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有。
三个交点．经过三个交点的圆记为．
1）求实数b的取值范围；
2）求圆的方程；
3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．
19．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
i）当时，求的数值；
ii）求的所有可能值．
2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列。
其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
20．已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，
1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；
2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
2023年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学附加题。
21：从a，b，c，d四个中选做2个，每题10分，共20分。
a．选修4—1 几何证明选讲。
如图，设△abc的外接圆的切线ae与bc的延长线。
交于点e，∠bac的平分线与bc交于点d．
求证：．b．选修4—2 矩阵与变换。
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线f，求f的方程．
c．选修4—4 参数方程与极坐标。
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
d．选修4—5 不等式证明选讲。
设a，b，c为正实数，求证：．
22．【必做题】记动点p是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
23．【必做题】．请先阅读：
在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．
1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（，正整数），证明：．
2）对于正整数，求证：
i）； ii）； iii）．
参***。一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．【解析】本小题考查三角函数的周期公式。
答案】102．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故。
答案】3．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵，0，＝1，因此。
答案】14．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得，因此，共有6个元素．
答案】65．【解析】本小题考查向量的线性运算． ，7
答案】76．【解析】本小题考查古典概型．如图：区域d 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域e 表示单位圆及其内部，因此．
答案】7．【解析】由流程图。
答案】6.42
8．【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
答案】ln2－1
9．【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线ab：，直线cp： ，两式相减得，显然直线ab与cp 的交点f 满足此方程，又原点o 也满足此方程，故为所求直线of 的方程．
答案】10．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．
答案】11．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得。
当且仅当＝3 时取“＝”
答案】312．【解析】设切线pa、pb 互相垂直，又半径oa 垂直于pa，所以△oap 是等腰直角三角形，故，解得．
答案】13．【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设bc＝，则ac＝，根据面积公式得=，根据余弦定理得。
代入上式得。
由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值。
答案】14．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
答案】4二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【试题解析】先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。
标准答案】1）由已知条件即三角函数的定义可知，因故，从而。
同理可得，因此。
所以=;2）,从而由得。
16． 【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线ef平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。
标准答案】证明：（1）∵e,f分别是的中点．
ef是△abd的中位线，∴ef∥ad，ef∥面acd，ad面acd，∴直线ef∥面acd；
2）∵ad⊥bd，ef∥ad，∴ef⊥bd，cb=cd，f是ｂｄ的中点，∴cf⊥bd
又ef∩cf=f, ∴bd⊥面efc，bd面bcd，∴面面。
17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
ⅰ）①由条件知pq 垂直平分ab，若∠bao= (rad) ，则， 故。
又op＝，所以，
所求函数关系式为。
若op= (km) ，则oq＝10－，所以oa =ob=
所求函数关系式为。
ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点p 位于线段ab 的中垂线上，在矩形区域内且距离ab 边km处。
18．解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．
ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
ⅱ）设所求圆的一般方程为。
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故d＝2，f＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出e＝―b―1．
所以圆c 的方程为。
ⅲ）圆c 必过定点，证明如下：
假设圆c过定点，将该点的坐标代入圆c的方程，并变形为。
为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得。
解得。经检验知，点均在圆c上，因此圆c 过定点。
19．解：（1）①当n=4时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去，则，即化简得，得。
若删去，则，即化简得，得。
综上，得或。
当n=5时，中同样不可能删去，否则出现连续三项。
若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：
当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)
综上所述，。
2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*
由知，与同时为0或同时不为0
当与同时为0时，有与题设矛盾。
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