绝密★启用前。
数学试卷。数学ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合p=，则p∩q= ．
2．设复数（为虚数单位），则的虚部是。
3．如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为 ．
4．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ．
5．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 ．
6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ．
7．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为8cm的正方形，则它的体积是 cm2．
8．数列中，，，则 ．
9．抛物线上的一点到其焦点距离为3，则该点坐标为。
10．已知向量，，满足，，若，则的最大值是 ．
11．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为。
12．若满足对于时有恒成立，则称函数在上是“被k限制”，若函数在区间上是“被2限制”的，则的取值范围为 ．
13．已知，，则的最小值为 ．
14．已知f（x）是定义在[1，+∞上的函数，且，则函数在区间（1，2015）上零点的个数为 ．
二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）若为的三内角，且其对边分别为．若向量，向量，且．
1）求的值。
2）若，三角形面积，求的值．
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为菱形，平面，，是棱上的动点，面积的最小值是3．
1）求证：；
2）求四棱锥的体积．
17．（本小题满分14分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为（平方米）的矩形健身场地．如图，点在上，点在上，且点在斜边上．已知，米，米，．设矩形健身场地每平方米的造价为元，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（为正常数）．
1）试用表示，并求的取值范围；
2）求总造价关于面积的函数；
3）如何选取，使总造价最低（不要求求出最低造价）．
18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．
1）求椭圆的标准方程；
2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分16分）已知函数．
1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；
2）若，求函数在上的最值；
3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．
20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且．
1）求的通项公式；
2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
3）设，是数列的前项和，证明．
数学ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，的平分线与分别交于，其中．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求的大小．
b．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵的一个特征值为，求。
c．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线过点的直线（为参数）与曲线相交于点两点．
1）求曲线的平面直角坐标系方程和直线的普通方程；
2）若成等比数列，求实数的值．
d．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）
已知函数。1）解不等式。
2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围。
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分)
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。
每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用表示甲，乙最终得分差的绝对值．
1)求袋中原有白球的个数；
2)求随机变量的概率分布列及期望e．
23.（本小题满分10分)
设个正数满足（且）．
1）当时，证明：；
2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
2023年高考语文冲刺卷03 新课标卷
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