文理共用（160分）
顺河中学刘素荣。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.复数的实部与虚部相等，则a
2.抛物线的准线方程为 .
3．已知，则。
4．有80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在的汽车大约有辆．
5.如图(1)是根据所输入的值计算值的一个算法程序，若依次取数列（）的项，则所得值中的最小值为。
6.一只蚂蚁在边长分别为的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为。
7．已知，对于任意不等式都成立，则m的取值范围是 ．
8.在数列中，，，在数列中，，，则。
9.△abc中，，，则的最小值是 ．
10.已知直线；，两条直线的交点为，，且，当变化时，过三点的动圆形成的区域的面积大小为。
11．设等边的边长为，是内的任意一点，且到三边的距离分别为，则有为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体的棱长为，是正四面体内的任意一点，且到四个面abc、abd、acd、bcd的距离分别为，则有为定值。
12.中，，，ac边上的中线，则sina=
13.已知对一切都有成立，则a的取值范围是。
14.对于数列，定义数列满足：，（定义数列满足：，（若数列中各项均为1，且，则。
二。解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
15.(本题满分14分)
在直角三角形abc中，斜边ab长为1，e为ab中点，cd⊥ab于点d，求的最大值。
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥p－abcd中，底面abcd是正方形，侧面pad底面abcd，pa＝pd，且pd与底面abcd所成的角为45．
1）求证pa⊥平面pdc；
2）已知e为棱ab的中点，问在棱pd上是否存在一点q，使eq∥平面pbc？若存在，指出点q的位置，并证明你的结论；若不存在，试说明理由．
17．已知点a(－3，1)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左准线上．过a点、斜率为－的光线，经直线y＝－2反射后经过椭圆的左焦点f．
1）求椭圆的方程；
2）点p是直线y＝－2上的一个动点，求以ap为直径且经过点f的圆的方程．
18．某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的**一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？
19. (本大题满分15分)
已知数列、中，对任何正整数都有：
1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
3）若数列是等差数列，数列是等比数列，求证：．
20.已知函数和函数，记．
1） 当时，若在上的最大值是，求实数的取值范围；
2） 当时，判断在其定义域内是否有极值，并予以证明；
3） 对任意的，若在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数的取值范围．
附加题部分(满分40分，考试时间30分钟)
解答题(本大题满分40分，1-4题为选做题，每题10分，考生只需选做其中2题， 5-6题为必做题，每题10分)
1.(几何证明选讲选做题)如图，四边形内接于，是圆的直径，两条对角线交于点p,p是ac的中点， ,直线mn切于a,若，求(1)的大小；(2)对角线bd的长。
2.(矩阵与变换选做题)
试求曲线在矩阵mn变换下的函数解析式，其中。
3.(坐标系与参数方程).
已知直线，(为直线的倾斜角，为参数)与曲线。
交于两点，o为坐标原点。
1)求证：；
2)求面积的最小值。
4.(不等式证明选做题)
已知数列的通项公式为，前n项和为。
求证：.5.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
1)从这50名教师中随机选出2名，问2人所使用的版本的相同的概率是多少？
2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教a版的教师人数为x,求随机变量x的分布列及均值ex.
6.如图，三棱锥中，， d是pb上一点，且。
(ⅰ)求异面直线与所成的角的大小；
ⅱ)求二面角的大小的余弦值。
2023年高考数学模拟卷答案。
一。填空题。
2. y=2
二。解答题。
16.（本小题满分14分）
证明（1）过点p作ph⊥ad交于h．
∵侧面pad⊥底面abcd，∴ph⊥平面abcd
pd与平面abcd所成的角为∠pdh＝45．
∵pa＝pd，∴∠pad＝45．
则∠apd＝90．∴pa⊥pd
∵cd⊥ad，平面pad⊥平面abcd，∴cd⊥平面pad．
∵pa平面pad，∴cd⊥pa．
∵pd∩cd＝d，∴pa⊥平面pdc．
解 （2）存在。
当q为pd的中点时，eq∥平面pbc．
证明如下：取pc的中点f，连fq，fb．
则fq∥cd，fq＝cd．
∵be∥cd，be＝cd，四边形beqf为平行四边形．
∴bf∥eq．
∵bf平面pbc，eq平面pbc，∴eq∥平面pbc．
18.解：设。
连结bd.则在中， 设。则。
等号成立时。
答：当时，建造这个支架的成本最低。
19. 解：（1）依题意数列的通项公式是，故等式即为，同时有，两式相减可得，可得数列的通项公式是，知数列是首项为1，公比为2的等比数列。
2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：
又，故，要使是与无关的常数，必需，
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；
当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列．
3）由（2）知，20.解：（1）时，．
当时，，不合题意；
当时，在上递增，在上递减，而，故不合题意；
当时，在上递减，在上递增， 在上的最大值是，所以，即，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
2）时，定义域为，．
当时，，在上单调递增，从而在其定义域内没有极值；
当时，，令有，但是时，，单调递增，时，，也单调递增，所以在其定义域内也没有极值．
综上，在其定义域内没有极值．
3）据题意可知，令，即方程在上恒有两个不相等的实数根．即恒成立，因为，，所以．
附加题部分。
1.(1) ∵的切线，∴
又∵直径，∴.
(2)由相交弦定理知。
又∵是中点， ,
又∵,∴是直角三角形。
又，∴,2.解：设，即在矩阵mn变换下。则。
即曲线在矩阵mn变换下的函数解析式为。
3.解： (1)曲线c的普通方程为。
将l的方程代入得：.其中。∴,
2)顶点o到的距离为。
又=,.当时，s有最大值16.
4.证明：.
当，当，当。
数学归纳法证明：
不等式成立；
2)假设当时，不等式成立，即。当。
时，不等式也成立。
由(1),(2)知，对一切均成立。
综上所述， n.
5. 解：(i)50名教师中随机抽出2名的方法数为，选出的2人所使用版本相同的方法数为，故2人所使用版本相同的概率是。
随机变量的分布列为：
答： (i)两人所使用版本相同的概率为；
(ⅱ)所要求的均值为。
6. 解(1)∵,又∵，.
以b为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则。
异面直线ap与bc所成的角为。
2)设平面pab的法向量为。
令。设平面pac的法向量为。
令。二面角c-pa-b大小的余弦值为。
2019江苏高考数学模拟卷
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