方向正导向明平凡美影响深。
江苏省通州高级中学曹兵 （226300）
江苏省2023年的数学高考，在人民的翘首期盼中落下了帷幕．笔者深感“年年岁岁花相似，岁岁年年卷不同”．数学命题于平淡中层层展现考生的扎实基本功和良好数学素养的风格，给数学教学工作者给广大的考生留下了深刻的影响．数学高考江苏卷命题走入了理性化、人性化．
1．形势分析。
众所周知，2023年的数学高考江苏卷以“十年来难度最大”、“新、活、难’三维交叉”而受到了教育界人氏的普遍质疑和考生的强烈反对，而2023年江苏又呈现出：①考生人数、考试规模为历年之最；②首次全部科目实行自主命题；③从**到地方各级**对高考工作提出新的更高的要求等新的特点，又加之新老教材交替的刚完成、新的课程标准的启动等新的特征，江苏命题怎么办？显然平稳过渡，返朴归真，淡化技巧，注重考效，由考促改，那是今年命题的必由之路．今年的数学考题，一定会对中学数学教学产生深远而积极的影响．
2．试题特点。
2．1强调基础知识与主干知识的交汇，考查学生的数学基础。
试题的入口大多比较宽，起点低，坡度小，客观题（选择题、填空题）都从中学数学的基础知识、重点内容、基本方法等出发设计问题，考查内容全面深刻．12道选择题4道填空题涉及了集合与交集、绝对值不等式；二倍角的余弦、余弦函数的图象与性质；组合与组合数的公式；球、点到平面的距离；双曲线与抛物线的简单几何性质；总体分布估计与总体期望值；二项式定理及二项展开式的性质；对数、对数函数与曲线与方程；等可能事件的概率；多项式函数的导数、利用导数研究函数的单调性和极值与函数的最大值和最小值；反函数、互为反函数的函数图象间的关系与直线方程的点斜式；函数、函数的单调性与奇偶性以及曲线与方程；不等式的解法与集合；圆的标准方程和一般方程；数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；向量与向量的坐标表示及向量的数量积等30余个知识点．解答题6大题，更是在考查数学基础知识的同时，突出注重对学科的内在联系和知识的综合的重点考查，并达到了一定的深度，从而让不同层次的考生都能展示自身的水平与能力．
解答题中，很多试题采用了“多步设问，层层推进”的格式，这样为有效区分考生的能力层次差异创设的台阶．现以大部分考生反应都比较多的压轴题为例进行说明．
题22 已知函数f(x)(x∈r)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有。
x1-x2)2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2
和 f(x1)-f(x2)|≤x1-x2
其中λ是大于0的常数．
设实数a0，a，b满足f(a0)=0和b=a-λf(a)．
ⅰ)证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0；
ⅱ)证明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2；
ⅲ)证明[f(b)]2≤(1-λ2)[f(a)]2．
评析本题主要考查函数及函数的单调性，不等式、含绝对值的不等式、不等式的基本性质以及不等式的证明等基础知识，考查反证法、配方法、代入法以及放缩法、分离参变量法等数学方法，以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
分析 （ⅰ由于增设了铺垫，降低了入口的难度，因而对基本功比较扎实的平时学习又比较努力的考生来说，大部分可做出这一问．这里已经初步区分出了考生的个性品质：是对压轴题轻言放弃还是锲而不舍，是面对新情境处变不惊还是畏手畏脚，这都是对广大考生的一种严峻考验，非意志坚强者、个性品质优良者不能有上乘的表现．
证明 (ⅱ由 b=a-λf(a
可知 (b-a0)2 =[a-a0-λf(a)]2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+ 2[f(a)]2
由f(a0)=0和①，得。
(a-a0)f(a) =a-a0)[f(a)-f(a0)]≥a-a0)2
由f(a0)=0和②式知，[f(a)]2=[f(a)-f(a0)]2≤(a-a0)2
则将⑤、⑥代入④式，得。
(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2．
评析这一问连同下面的一问是本题的实质问题，也只有做到这里，才能体会出命题者的真正意图．为什么想到⑤或⑥，事实上这是一种消元，是一种化归，这是比较不等式两边的差异而得到的；那又为何在这两式中又适当地添上项f(a0)，显然这是对照题设，为使用①或②所必须．想到减少差异施行消元，想到如何创设条件使用题设而加项，便成为本题的一个突破口．如果说考生没有良好的自信心，必胜的心理素质，参勇于打破常规的思路，那考生面对这许许多多的字母将会是束手无策的．能力的区分已经跃然纸上．
证明 (ⅲ由③式，可知。
f(b)]2=[f(b)-f(a)+f(a)]2
=[f(b)-f(a)]2+2f(a)[f(b)-f(a)]+f(a)]2用②式）
用①式）
=(1-λ2)[f(a)]2．
评析本题的基本思路似乎与上一问的证题思路相同，但为何许多考生感觉比上一问的证题要难呢？事实上，这里的代换要求高了，这是一个逆向代换，即f(a)用代换；另第一步中也采用了更灵活的加项减项的代换法，即0= -f(a)+f(a)，这是较难想到的．（注：上一问中，也有0=f(a0)的代换，而这是题设中有点，因而还比较容易想到）思维层次不同的学生在本题的解答过程中得到了很好的区分，可以说这是一道非常成功的试题．
2．2注重数学思想与数学方法的揉合，考查考生的数学素养。
数学不仅仅是一门工具性的学科，更重要的是一种思维模式，数学思想和方法是数学知识的更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．高考中通过考查考生对数学思想与方法的自觉运用情况，可对考生的数学理性思维能力作出区分．因而江苏独立命题继续坚持了全国高考命题中一直坚持的重视对数学思想与数学方法的考查，实行了平稳的过渡，为中学数学教学起了一个良好的导向作用．
今年高考数学江苏卷中涉及的数学思想与方法主要有：
函数方程思想——如题（8），（11），（12），（20）等；分类讨论思想——如题（3），（20），（21）等；数形结合思想——如题（4），（5），（6），910），（11），（12），（13），（19）（21）等；等价转化思想——如题（17），（22）等；反证法——如题（22）；等积法——如题（18）；消参法——如题（22）；待定系数法——如题（19）；估算法——如题（13）等．
2．3注重思维能力与运算能力的并举，考查学生的数学能力。
江苏高考数学卷注重逻辑思维能力与运算能力的综合考查，并注意层次要求上的差别，达到一定的深刻程度，从而比较有效地考查了考生继续学习的潜能，为高校冷气生的选拔提供了数理素质的可信度．
对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调**性、综合性、应用性，切合考生实际．诸如试题（11），（12），（21），（22）等，综合考查了考生的阅读、观察、抽象、概括、推理等数学思维能力，对思维品质提出了较高的要求．略举一例，以窥一般：
题13 二次函数y=ax2+bx+c(x∈r)的部分对应值如下表：
则不等式ax2+bx+c>0的解集是。
评析这是填空题的第一小题，求解的思路是宽广的，题目本身也是常规的，但不同的求解策略，却可以体现考生不同的能力层次．
思路1 （一般能力层次的考生可能采用）根据二次函数的表达式，有3个待定系数，因而需选用三个点，代入分别求出a、b、c的具体数值，然后再解不等式，求出解集．本解法估计会费时3分钟左右．
思路2 （基本功比较扎实解题比较灵活的考生可能采用）注意到二次函数的交点式，可将二次函数写为y=a(x-x1)(x-x2)，从而可取（-2，0）与（3，0）两点，得方程为y=a(x+2)(x-3)，又注意到图象过点（0，-6），于是-6= a(0+2)(0-3)，a=1，然后再求解不等式，求出解集．本解法估计会费时1分半左右．
思路3 （思维能力更强的考生可能采用）注意到三个“二次”的关系，因而只需判断出方程的零根及图象的开口方向，便可得到不等式的解集．故可利用数形结合法，在图中作出三点（-2，0），（3，0），（0，-6），由图不等式的解集可显而易见．此解法用时不会超过30秒．
试题中，象这种通过小题的方式考查考生的数学能力的试题很多，限于篇幅，恕不一一列举．
运算能力是思维能力和运算技能的结合，它不仅包括数的运算，还包括式的运算，对考生运算能力的考查主要是以含字母的式的运算为主，同时要兼顾对算理和逻辑推理的考查．我们不妨再通过题（22）的别解，来说明高考试卷是如何根据试题来考查考生的计算能力的．
证明 （题（22）别解）
当x1≠x2时，由已知及绝对值不等式的性质易得。
即对任意的两不相等的实数x1≠x2，都有。
ⅰ)由上面的不等式易知λ≤1．
假设存在b0≠a0，使得f(b0)=0，则在（ ☆中令x1=b0，x2=a0，由于f(b0)-f(a0)=0，故此时（ ☆式不能成立，故不存在b0≠a0，使得f(b0)=0．
ⅱ)若a=a0，则b=a=a0，不等式显然成立；
若a≠a0，则=≤(1-λ2)2≤1-λ2． 变形即得所证不等式．
(ⅲ)若b=a，则a=a0，不等式显然成立；
若b≠a，则令x1=b，x2=a，代入（ ☆式得，将b-a= -f(a)代入上式，并变形得．
于是 ，故 ．
从而 [f(b)]2≤(1-λ2)2[f(a)]2≤(1-λ2)[f(a)]2．
评析以上证法，抓住了问题的本质特征，在众多字母中抓住最关键的λ，进而采用分离参变量法，一气呵成，一石三鸟，令人叫绝．本解法对考生的能力展现得淋离尽致，水平之高超非同一般．由该证法，后两问结论还可加强为：
2．4注重新课改与旧教材的渗透，考查考生的创新能力。
负责高考数学的人士已明确提出，新课程改到**，高考就跟到**．新的数学课程改革正遵循着“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的理念．江苏高考数学卷明显反映了新课改的精神，既重视考查基础知识，又注重体现课程改革的基本理念．江苏高考数学卷中涉及新教材的内容有：概率与统计、导数、向量（含空间向量）、线性规划等，分值达全卷的四分之一．这些内容是现代数学的重要基础知识，蕴含着丰富的数学思想方法，具有较强的时代性和广泛的应用性，充分体现了数学的科学价值和人文价值．
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