2023年普通高等学校招生全国统一考试。
数学（江苏卷）参***及评分标准。
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分50分．
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
三、解答题。
17．本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力，满分12分．
解：（）由题意，可设所求椭圆的标准方程为，其半焦距．，．
所以所求椭圆的标准方程为．
）点，，关于直线的对称点分别为，，．
设所求双曲线的标准方程为．
由题意知，半焦距，．
所以所求双曲线的标准方程为．
18．本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．满分14分．
解：设为，则．由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：）．
于是底面正六边形的面积为（单位：）
帐篷的体积为（单位：）
求导数，得．
令，解得（不合题意，舍去），．
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
所以当时，最大．
答：当为时，帐篷的体积最大．
第18题注：若解题步骤正确，某处开始出现错误，则对该错误以后部分，无论是否再出现计算错误，一律按一半给分．
19．本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分14分．
解法一：不妨设正三角形的边长为．
）在图1中，取的中点，连结．，而，是正三角形．又，．
在图2中，，，为二面角的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，．
又，平面，即平面．
）在图2中，不垂直于，是平面的斜线．又平面，从而垂直于在平面内的射影（三垂线定理的逆定理）．
设在平面内的射影为，且交于点，则就是与平面所成的角．
且．在中，，，是等边三角形，．
又平面，，为的中点，且．
又，在中，，．
所以直线与平面所成的角为．
）在图3中，过作于，连结，．，是正三角形，．
又，．①平面，从而．②
由①②及为公共边知，且，从而为二面角的平面角．
在中，，，在中，，，由余弦定理得．
在中，所以二面角的大小为。
解法二：不妨设正三角形的边长为．
）同解法一．……4分。
）如图1，由解法一知平面，．建立如图4所示的空间直角坐标系，则，，，
在图1中，连结，，，
由图1知且，．，对于平面内任一非零向量，存在不全为零的实数，使得，又，直线与平面所成的角是与平面内非零向量夹角中最小者，可设，从而。
又的最小值为，的最大值为，即与夹角中最小的角为，所以直线与平面所成的角为．
）如图4，过作于，过作交于，则为二面角的平面角．
设，则．，又，．①三点共线，存在，使得．
从而代入①得，．
同理可得，从而，．
所以二面角的大小为．
20．本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分16分．
解：（）要使有意义，必须且，即．
的取值范围是．
由①得，．）由题意知即为函数，的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论．
1）当时，函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，．
2）当时，，，
3）当时，函数，的图像是。
开口向下的抛物线的一段．
若，即，则．
若，即，则．
若，即，则．
综上有 ）解法一：
情形1：当时，，此时，．
由解得，与矛盾．
情形2：当时，，此时．
由解得，与矛盾．
情形3：当时，，此时，所以．
情形4：当时，，此时，由解得，与矛盾．
情形5：当时，，此时，由解得，与矛盾．
情形6：当时，，此时，由解得，由知．
综上知，满足的所有实数为：或．
解法二：当时，．
当时，，，所以，因此，当时，．
当时，，由知解得．
当时，，因此或，从而或．
要使，必须有，，即．
此时．综上知，满足的所有实数为：或．
21．本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
证明：必要性．设是公差为的等差数列，则，所以成立．
又（常数），（所以数列为等差数列．
充分性．设数列是公差为的等差数列，且．证法一：
－②得．，③
从而有．④－③得．⑤，由⑤得．
由此不妨设，则（常数）．
由此，从而．
两式相减得，因此（常数）（）所以数列是等差数列．
证法二：令，由，知，从而，即．
由，得。即。
由此得．⑦－⑦得．⑧
因为，所以由⑧得．
于是由⑥得．⑨
从而．⑩由⑨和⑩得，故，即。
所以数列是等差数列．
da2023年高考数学试卷答案湖北理
参 1 a提示 原式，选 a 2 a提示 选 a 3 b提示 由得，所以，所以，故选 b 4 c提示 的图像为开口向右的抛物线，过抛物线焦点分别作倾斜角为的两条直线，则这两条直线与抛物线的交点及焦点构成符合条件的两个正三角形。由对称性可知，两直线位置一有改变就不可能构成正三角形，故选 c 5 c提示...
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