2011江苏高考数学试卷全部解析。
李海林。一、 填空题。
1.已知集合，,则 。
解析：答案为。本题考查了集合的概念和运算，是b级要求，容易题。由集合的交集意义得。集合复习时要围绕概念及运算加强理解，适当把集合和方程、不等式等结合。
2.函数的单调增区间是 。
解析：答案为。本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质，是b级要求，容易题。
由，得，所以函数的单调增区间是。要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。
3.设复数z满足，(为虚数单位)，则z的实部是 。
解析：答案为1。本题考查了复数的运算和复数的概念，是b级要求，容易题。由得，所以z的实部是1。要熟练掌握复数的概念和运算，复数的几何意义也要了解。
4.根据如图所示的伪**，当输入分别为2，3时，最后输出的的值为。
解析：答案为3。本题考查了算法的有关概念和算法中的基本算法语句，是a级要求，容易题和10年都考查了算法流程图，今年考查的基本算法语句与算法流程图都是算法中的基本内容。
算法常与函数、方程、不等式和数列结合考查，要熟知基本的算法语句和流程图。
5.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 。
解析：答案为。本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是b级要求，容易题。
由题意得取出的两个数为：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共六种基本情况，则其中一个数是另一个数的两倍的为1和2及2和4两种，所以所求的概率为。要熟知概率的概念和古典概型及几何概型的特征及计算方法。
6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差 。
解析：答案为。本题考查了统计中方差的概念和计算，是b级要求，容易题。由题意得该组数据的平均数为，所以方差为。要熟练掌握统计的相关计算和有关特征数的意义和作用。
7.已知，则的值为 。
解析：答案为。本题考查了三角函数的和差倍计算，是b、c级要求，中档题。
由得，。两角和与差的正、余弦和正切是高考的重点内容，二倍角也是较重要的考试内容，要熟练掌握公式应用和最常见的变形，且能根据问题特点选用相关的形式。
8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值为 。
解析：答案为4。本题考查了函数的图象及性质的应用，是b级要求，中档题。
直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段长的最小，最小值为4；或设直线为，由方程组解得两点的坐标，再求线段长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用图象和性质快捷。合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法。要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题。
9.函数（为常数，）的部分图象如图所示，则的值为 。
解析：答案为。本题考查了三角函数的图象及性质的应用，是a级要求， 中档题。
由函数图象得，所以， ,再结合三角函数图象和性质知，所以。正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质是b级要求，函数的图象和性质是a级要求，这些都是三角函数的重要内容，要熟练掌握、灵活应用。对于三角函数的图象要能发现相关信息，恰当应用。
10.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数的值为 。
解析：答案为。本题考查了平面向量的概念和数量积的意义，是c级要求， 中档题。
由得。单位向量及向量的夹角都是向量的基本内容，向量的线性运算及平面向量基本定理都是向量的重要内容，要熟练掌握，平面向量的数量积是解决平面上与长度和角度有关的问题的重要方法，要有意识地应用。
11.已知实数，函数，若，则的值为 。
解析：答案为。本题考查了函数的概念及函数和方程的关系，是a级要求， 中档题。
由题意得，当时， ，解之得，不合舍去；当时，，，解之得。本题只要根据题意对分类，把问题化为方程问题求解即可，而无需画图，否则较易错。要分析各类问题的特点，恰当转化是解决问题的关键，要培养相关的意识。
12. 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值为 。
解析：答案为。本题考查了函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值，是b级要求；直线方程的求法，c级要求，是中档题。
设点坐标为，由得，的方程为，令得，，过点的的垂线方程为，令得，，所以，令，对函数求导，当时，函数的最大值为。要充分利用导数的特点，正确求导、计算，得出正确的结果。
13.设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为 。
解析：答案为。本题考查了等差数列、等比数列的意义和性质，是c级要求，中档题。由题意得，
要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值为1，所以，。正确利用条件得出数列中各项的关系，列出不等式组是解题的关键。
14. 设集合。
若，则实数的取值范围是。
解析：答案为。本题考查了集合、曲线方程和不等式及二元不等式表示的区域等内容，是多个b级要求考点的综合，难题。由得，，所以或。当时，，且。
又，所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分；当时，只要或。
解得或，所以，实数的取值范围是。解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数的取值范围的相关条件。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.在中，角的对边分别为。
1) 若，求的值；
2）若，求的值；.
解析：本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力，是c级要求，容易题。解题说理要准确、完整，过程要合理、严谨。
解：（1）由题意知，从而，所以。
因为，所以。
（2）由，及，得，所以是直角三角形，且，所以。
16.如图，在四棱锥中，平面平面，, 分别是的中点。
求证：（1）直线平面；
(2) 平面平面。
解析：本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，是b级要求，容易题。要准确画图，合理写出相关的推证理由，符号应用正确。
证明：(1) 在中，因为分别是的中点，所以，又因为平面，pd平面，所以直线平面。
(2)连结bd。因为，，所以为等边三角形。因为分别是的中点，所以。因为平面平面，,又因为，所以。又因为，所以平面平面。
17.请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a,b,c,d四个点重合与图中的点p,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。e,f在ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设。
1）某广告商要求包装盒的侧面积s最大，试问应取何值？
2）某厂商要求包装盒的容积v最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
解析：本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力，是b级要求的综合问题，中档题。引入恰当的变量、建立适当的模型是关键。
解：设包装盒的高为，底面边长为由已知得。
1），所以当时，s取得最大值。
2）。由得， (舍)或。当时；当时，所以当时取得极大值，也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。
18.如图，在平面直角坐标系中，m,n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p,a两点，其中点p在第一象限，过p作轴的垂线，垂足为c。连结ac，并延长交椭圆于点b。
设直线pa的斜率为。
（1）若直线pa平分线段mn,求的值；
(2) 当时，求点p到直线ab的距离；
（3）对任意的，求证：。
解析：本题主要考查椭圆的标准方程及椭圆的几何性质、直线方程、直线的垂直关系，点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是b、c级要求的综合，中档题。恰当应用椭圆的概念和几何性质，可以提高运算效率。
解：由题意知，，故，所以线段mn的中点的坐标为，由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以。
2）直线pa的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此，于是，直线ac的斜率为，所以直线ab的方程为，因此。
3）解法一：将直线pa的方程为代入，解得，记，则，于是故直线ab的斜率为，直线ab的方程为，代入椭圆方程得，解得，或，因此。
于是直线pb的斜率为， 因此，所以。
解法二：设，则，.设直线pb，ab的斜率分别为。因为c在直线ab上，所以，从而。
因此，所以。
19．（本小题满分16分）
已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．
1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；
2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．
解析：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，b级要求，是难题。
解：。1）由题意得，在上恒成立。因为，故，进而，即在区间上恒成立，所以，因此的取值范围是。
（2）令，解得，若，由得，又因为，所以函数和在上不是单调性一致的。因此。
现设。当时，；当时，。因此，当时，故由题设得且，从而，于是，因此，且当时等号成立。又当时，),从而当时，,故函数和在上单调性一致的。因此的最大值为。
20．（本小题满分16分）
设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．
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1 填空题。1 设集合a b a b 则实数a 解析 知识储备 集合的交集 见必修1 难易程度 极容易 解 法1 1 则，此时，所以，符合要求。2 则，不成立。综上可知 法2 故由题意可知 所以。2 设复数z满足z 2 3i 6 4i 其中i为虚数单位 则z的模为 学科网 解析 知识储备 复数的四则...