2023年自主招生数学**试题—北约。
考试时间：90分钟，总分100分）
一、选择题（每题4分，共40分）
1.设表示不超过的最大正整数。若（其中），则一定有___
a】 【b】 【c】 【d】以上答案都不对。
2.过椭圆上任一点，作椭圆的右准线的垂线（为垂足），延长到点，使。当点在椭圆上运动时，点的轨迹的离心率的取值范围是___
a】 【b】 【c】 【d】
3.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的数学期望为___
abc】 【d】
4.设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是___
a】 【b】 【c】 【d】
5.已知是2013个正数，且，则这2013个正数中___
a】小于1的数最多只有1个b】肯定有比2012大的数。
c】肯定有比2012小的数d】必有一个数为2013
6.若则的值的个数为___
a】0b】1c】2d】3
7.如果，且，那么角的取值范围是___
a】 【b】 【c】 【d】
8.有4种不同颜色的小球各5个，从这20个小球中任取5个，取出的这5个小球中，恰有2种或3种颜色的所有取法有___
a】2400种 【b】10 500种 【c】9150种 【d】9300种。
9.如果若，则与___
a】一个大于1，一个小于1b】两个都大于1
c】两个都小于1d】两个的积都小于1
10.已知，且，则的值的个数为___
a】0b】1c】2d】无数个。
二、解答题（每题12分，共60分）
11、若均为小于1的非负实数。证明：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于。
12、在四边形中，
1）若四边形为圆内接四边形，求四边形的面积；
2）求四边形的最大面积。
13、设为内任意一点，面积分别为。
证明：.14、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
15、是双曲线上不同的两点。
1）若线段的中垂线（不和轴重合）过点，求中点的横坐标；
2）问：是否可能垂直于？并证明之。
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