安顺市镇宁县六马中学。
教师：韦应俭。
第一部分。一、常微分方程的概念。
含有自变量、函数及其导数的关系式。
二、一阶微分方程的初等解法。
1）变量分离方程。
形如：的方程，称为变量分离方程，这里分别是的连续函数。
2）可化为分离变量方程的方程的三种形式。
3）贝努力方程。
4）一阶线性方程。
5）方程。6）形如的方程。
若，则方程式恰当的
通解是。若只含有，则原方程有积分因子。
即是恰当的。
若只含，则，即。
是恰当的。若，只含，则。
若，只含有，则。
三、一阶微分方程的解的存在定理。
1）研究的目的。
2）解存在但不唯一的例子。
3）解的存在性定理。
一阶显示方程：……
初值问题：……
定理存在唯一性定理。
如果的在：上满足：（1）在上连续（2）在上关于满足条件，则初值问题在区间上上存在唯一解。其中对满足条件是指，,对中两点。
均有不等式成立：
几何解释：线段场定义中的在内有定义，对中点，以为中心，作一单位线段，称为在点的浅素。
的几点说明。
是几次近似解对精确解。
的误差估计。
检验条件可用较强的但易于计算的条件来代替，即若在存在并有界，则在上关于满足条件或在上连续，则在上满足条件（反之不成立）
4）解的延拓。
解的右行延拓。
设使方程的解，在上，称是过的右延拓解。
饱和解。若是上的解且过不能左右延拓，则为上的饱和解。
在什么条件下解可延拓。
若果方程的函数在区域内连续，关于满足局部的条件，则方程通过中内的解可以左右延拓。
解的延拓定理。
如果方程右端函数在有界区域中连续，在内关于满足局部条件，那么方程的解通过内的解可以延拓，直到点接近的边界，以向增大的一方的延拓来说，如果只能延拓到区间上，当时，趋近于的边界。
推论：如果是无界的区域，在上面解的延拓定理条件下，方程通过点的解可以延拓，以向增加的一方延拓来说有以下2种情况。
1）解可以延拓到区间。
2）解只可以延拓到，其中为有限数，则当时，或无界，或点趋于的边界。
5）奇解。包络与奇解。
对于某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线并不属于这个方程的积分曲线族，但是在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与之相切。
求解方法。由微分几何学知：曲线族的包络包含在由下列两个方程：
消去而得到的曲线。
奇解的定义微分方程的某一个解称为奇解是指如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另一个解存在， 也就是说奇解是这样一个解，在它上面的每一个点唯一性不成立，或者说对应曲线上每一点至少还有方程的两条积分曲线通过。
四、高阶微分方程。
定义：二阶及二阶以上的微分方程。
1）线性微分方程的一般理论。
…，都是的连续函数。
称为阶非奇次线性微分方程，简称非奇次线性方程。
称为阶奇次线性微分方程，简称奇次线性方程。
给出方程的解的存在唯一性定理。
定理1：如果……及都是的连续函数，则对于及……方程有唯一解，定义在。 满足初始条件。
2）奇次线性方程的解的性质及结构。
定理2（叠加原理）：如果……是方程的个解，则它们的线性组合……也是的解，其中，……为常数。
定理3：若函数，……在区间上线性相关，则在上，
定理4：如果方程的解，……在区间上线性无关，则……在这个区间的任何点上不等于0，即。
定理5：阶奇次线性方程一定存在个线性无关的解。
定理6（通解结构原理）：如果……是方程的个线性无关的解，则的通解表示为：
其中：……为任意常数包含了所有解。
3）常系数线性微分方程。
复值函数与复值解。
复值函数实变函数：自变量是实数，函数值也是实数。
复变函数：自变量是复数，函数值也是复数。
复值指数函数。
称为复值指数函数。
复值解的定义。
定义在区间上的实变量变值数称为方程的变值解。
定理8如果方程中所有系数……都是实值函数，而是方程的变值解，则实部，虚部及共轭变值函数也是的解。
若方程……有变值解。
这里……及都是实函数，那么分别是方程：
的解。第二部分。
一、解的延拓定理。
如果方程右端函数在有界区域中连续，在内关于满足局部条件，那么方程的解通过内的解可以延拓，直到点接近的边界，以向增大的一方的延拓来说，如果只能延拓到区间上，当时，趋近于的边界。
证明：，这样，定理的后半部分证明是错误的，下面给出一个新的证明。证明记图为，设的解和是的延拓，当，定义1显然，当肘时，是肘延拓，记是肘延拓了，则是一个偏序集，如果是的一个非空有序子集，则是某个延拓的图，显然是的上界，由引理，存在延拓。
二、定理在数学分析上的应用。
延拓下列函数，使其在上连续。
解前提示如果函数在上无定义的点皆为可去间断点，那么只需在每个无定义的点处补出定义，就可以使的定义域扩大到上且处处连续。
解：（1）在处无定义，而。
故为的可去间断点，令即，就是的延拓，且在上连续。
2）在处无定义，而。
令则就是的延拓，且在上连续。
3）函数仅在处无定义，而故。
令则就是的延拓，且在上连续。
贵州省2024年农村义务教育阶段。
学校教师特设岗位招聘考试数学模拟试卷。
专业知识篇（共70分）
一、填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
1.函数的定义域是。
4.交换二次积分次序，则。
计算二次积分。
5.已知空间三点试求△abc的面积=
二、计算下列各题题（共四个小题，每小题4分，共16分）
1.求极限。
2.设求导数。
3. ①求定积分求不定积分。
4.在等差数列中，
三、解答题（共4个小题，每小题6分，共24分）
1. ①已知两点，求线段的垂直平分面的方程。
过两点作一平面，使该平面与平面垂直。
2. ①设矩阵， 求。
已知，其中，.求矩阵。
3.求常微分方程的通解及在的特解。
4.求幂级数………的收敛域。
四、应用题（共2小题，每小题6分，共12分）
1.一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第个零件时不合格品德概率，以表示3个零件中合格品的个数，求。
2.要造一个长方形无盖蓄水池，其容积为，底面为正方形，设底面与四壁所使用的材料的单位造价相同，问底边和高各为多少时，才能使所用材料费最省？
五、证明题。（共6分）
设是以为周期的周期函数，且在任意有限区间上连续，证明：对任意的。
等式成立。
《常微分方程》作业
宁夏师范学院成教学院。试卷说明 本试卷 现的均为常数。一 选择题 每小题3分，共30分 1 阶常微分方程。a 一，线性 b 一，非线性 c 二，线性 d 二，非线性。2 方程成为恰当方程的充要条件是。a b c d 3 方程的通解为。ab cd 4 方程的通解为。ab cd 5 方程的特征方程是。a...
《常微分方程》网络作业
作业6一 设。1 验证函数是方程的通解 2 求满足初始条件的特解 3 求满足初始条件的特解。解 1 由，易得，函数是方程的通解得以验证。2 由 1 知，由可得。由可得。所求特解为 3 由 1 知，由，可得，解得。所求特解为 二 求方程的通解，已知它的对应齐线性方程有基本解组。解 所给方程对应的齐线性...
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作业41 叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。解 取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下 在估计式中令。我们就得到第n次近似解和真正解。在区间内的误差估计式。这样，我们在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数。2 求方程通过点的第二次近似解。解 可以作出如下的近似表达式 就是方程通过...