专业班级：信息软件姓名：吴中原学号：120108010002
一、实验目的。
1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；
2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种
算法的优越性。
二、实验题目。
1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算；
2、试分别取不同步长，考察某节点处数值解的误差变化情况；
3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；
4、分析各个算法的优缺点。
三、实验原理与理论基础。
一） 欧拉法算法设计。
对常微分方程初始问题。
用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。
欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从(6-2)式由于y (x0) =y0已给定，因而可以算出。
设x1 = h充分小，则近似地有：
记 从而我们可以取。
作为的近似值。利用及f (x1, y1)又可以算出的近似值：
一般地，在任意点处的近似值由下式给出。
这就是欧拉法的计算公式，h称为步长。
2）四阶龙格-库塔法算法设计：
欧拉公式可以改写为：，它每一步计算的值一次，截断误差为。
改进的欧拉公式可以改写为： ，它每一步要计算的值两次，截断误差为。
改进的欧拉方法之所以比欧拉方法具有更高的精度，是因为在每一步它都比欧拉方法多计算了一次的值。因此，要进一步提高精度，可以考虑在每一步增加计算的次数。
如果考虑在每一步计算的值四次，则可以推得如下公式：
此公式称为标准四阶龙格-库塔(runge-kutta)公式，它的截断误差为。虽然用龙格-库塔方法每一步需要四次调用，计算量较改进的欧拉方法大一倍，这里由于龙格-库塔方法的步长增大了一倍，因而两种方法总的计算量相同，但龙格-库塔方法精确度更高。所以龙格-库塔公式兼顾了精度和计算工作量的较为理想的公式，在实际计算中最为常用。
四、实验内容。
一）问题重述：
科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用euler法，改进euler法，rung-kutta方法求其数值解，诸如以下问题：
1） 0 < x1
分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解。
2）用r=3的adams显式和预 - 校式求解。
取步长h=0.1，用四阶标准r-k方法求值。
3）用改进euler法或四阶标准r-k方法求解。
取步长0.01,计算数值解，参考结果
（4）利用四阶标准r- k方法求二阶方程初值问题的数值解。
（i） (ii)
(iii(iv
二)实验**：
1、欧拉法程序。
function y=euler(a,b,m,y0)
a=1,b=2,m=10,f=t*y^(1/3),y0=1;
h=(b-a)/m;
t=zeros(1,m+1);
t=a:h:b;
y=zeros(1,m+1);
yy=zeros(1,m+1);
y(1)=y0;
for k=1:m
y(k+1)=y(k)+h*t(k)*y(k)^(1/3);
endyb=y(m+1);
yy=((t.^2+2)./3).^1.5;
det=yy-y;
plot(t,y,'r-',t,yy,'b:',t,det);
2、改进欧拉法程序。
function h=heeuler(a,b,m,ya,f)
a=0,b=1,m=10,f=t*t+t-y,y0=0;
h=(b-a)/m;
t=zeros(1,m+1);
y=zeros(1,m+1);
p=0;q=0;
t=a:h:b;
y(1)=ya;
for k=1:m
p=feval(f,t(k),y(k));
q=feval(f,t(k+1),y(k)+h*p);
y(k+1)=y(k)+0.5*h*(p+q);
endyy=t.*t-t+1-exp(-t);
det=yy-y;
plot(t,y,'r-',t,yy,'b:',t,det);
h=[t',y',yy',det']
function f=ff(t,y);
f=t.^2+t-y;
3、四阶龙格-库塔法程序。
function h=r_k4(a,b,m,ya,f)
a=0,b=1,m=10,f=t*t+t-y,y0=0;
h=(b-a)/m;
t=zeros(1,m+1);
t=a:h:b;
y=zeros(1,m+1);
k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;
y(1)=ya;
for k=1:m
k1=feval(f,t(k),y(k));
k2=feval(f,t(k)+0.5*h,y(k)+0.5*h*k1);
k3=feval(f,t(k)+0.5*h,y(k)+0.5*h*k2);
k4=feval(f,t(k)+h,y(k)+h*k3);
y(k+1)=y(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
endyy=t.*t-t+1-exp(-t);
det=yy-y;
plot(t,y,t,yy,t,det);
h=[t',y',yy',det']
function f=ff(t,y);
f=t.^2+t-y;
五、实验结果
1） 0 < x1
分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解。
euler('han',0,0,2,0.1)ans =
euler('han',0,0,2,0.2)ans =
euler('han',0,0,2,0.4)ans =
2、四阶龙格-库塔法结果。
取步长h=0.1，用四阶标准r-k方法求值。
rk4('han',-1,0,1,0.1)ans =
6、实验结果分析与小结。
1、步长h越小则计算精度越高，相对误差越小。因此，在计算能力允许的范围内，步长越小，得到的结果更精确。
2、改进欧拉法和欧拉法相比较，改进欧拉法的计算精度要更高，相对误差也较小。因此在求常微分方程的数值解时，改进欧拉法比欧拉法更精确。