作业6一、设。1）验证函数是方程的通解；
2）求满足初始条件的特解；
3）求满足初始条件的特解。
解：（1）由，易得，
函数是方程的通解得以验证。
2）由（1）知，
∴ 由可得。
由可得。∴ 所求特解为
3）由（1）知，
∴ 由，可得，解得。
∴ 所求特解为
二、求方程的通解，已知它的对应齐线性方程有基本解组。
解：所给方程对应的齐线性方程为 （1）
其特征方程为，特征根为，
∴ 方程（1）的通解为。
下面求 （2）的一个特解。
∵ 2i是特征方程的根。
令为所给方程的一个解，则，
从而是原方程的一个特解。
原方程的通解为（其中，为任意常数）
作业7求解下列微分方程。
解：1、所给方程是二阶常系数齐线性方程。
其特征方程为，特征根为，
∴ 方程的通解为（其中，为任意常数）
2、所给方程对应的齐线性方程为 （1）
其特征方程为，特征根为，
∴ 方程（1）的通解为。
下面求 （2）的一个特解。
∵ i是特征方程的根。
令为所给方程的一个解，则，
把，代入方程（2）得。
从而是原方程的一个特解。
原方程的通解为（其中，为任意常数）
3、所给方程对应的齐线性方程为 （1）
其特征方程为，特征根为，
∴ 方程（1）的通解为。
下面求 （2）的一个特解。
2不是特征方程的根。
令为所给方程的一个解，则，
把，，代入方程（2）得。
原方程的通解为（其中，为任意常数）
作业8将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
解：1）令，则。
设，故有，满足。
2）所给的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题为。
满足。作业9
一、考虑方程组，其中。
1）验证是的基解矩阵。
2）试求的满足初始条件的解。
解：1）先证是的解矩阵。
令， 从而，都是的解矩阵。
又∵∴是的基解矩阵。
2）取矩阵的逆，我们得到。
则由定理8，满足初始条件的解就是，对应的齐线性方程组满足初始条件的解就是。
∴ 所求的的满足初始条件的解为。
二、设，求解方程组满足初始条件的解。
解：a的特征方程为，分别为，重特征值。
为了确定三维欧几里得空间的子空间u1，u2，需考虑方程组。
先讨论 该方程组的解为，其中为任意常数，子空间u1是由向量u1所张成的。
其次讨论。该方程组的解为，其中，为任意常数，子空间u2是由向量u2所张成的。
下面找出向量，使得初始向量。
∴，，其中，，是某些常数。
则有，解得，，
从而得到满足初始条件的解为。
也可算出。
《常微分方程》网络作业
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