作业41、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。
解：取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：
在估计式中令。
我们就得到第n次近似解和真正解。
在区间内的误差估计式。
这样，我们在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数。
2、求方程通过点的第二次近似解。
解：可以作出如下的近似表达式；
就是方程通过点（1，0）的第二次近似解。
作业51、讨论方程通过点的解和通过点的解的存在区间。
解：此方程右端函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。
由解得。∴ 通过点（1，1）的解为，该解的存在区间为（﹣∞2）
通过点（3，﹣1）的解为，该解的存在区间为（2，﹢∞
2、考虑方程假设及在xoy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。
证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xoy平面上满足解的延拓定理及解的存在与唯一性定理的条件。
易于看到，为方程在（﹣∞上的解。
由延拓定理可知，满足，任意及的解上的点应当无限远离原点。
但是，由解的唯一性，又不能穿过直线。
∴ 只有可能向两侧延拓，而无限远离原点，从而这解应在（﹣∞上存在。
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