第六章微分方程。
习题6-1．验证下列各函数是否是相应微分方程的解：
第二节可分离变量的微分方程。
习题６－２．求下列可分离变量的微分方程的通解．
．求解下列微分方程的初值问题．
第三节齐次方程。
习题６－３．求下列齐次方程的通解．
．求下列微分方程的初值问题．
．设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．
第四节一阶线性方程与伯努利方程。
习题６－４．求下列微分方程的通解．
．求下列微分方程的初值问题．
．求下列伯努利方程的通解．
第五节可降阶的高阶微分方程。
习题６－５求下列微分方程的通解．
．求下列初值问题．
第六节二阶线性微分方程解的结构。
习题６－６．验证，是方程的两个特解，并求出此方程的通解．
．证明：若，是二阶非齐次线性方程的两个解，则是其对应齐次方程的解．
第七节二阶常系数线性微分方程。
习题６－７．求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解．
2．求下列微分方程所给定初始条件下的特解．
3．求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解．
4．已知，其中为连续函数，求．
６．８微分方程的应用。
例2 抛物线的光学性质．
设探照灯的反射镜面是一旋转曲面．由旋转轴上一点发出的光线经镜面反射后都与旋转轴平行，求这旋转曲面的形状．
解取旋转轴为轴，光源所在之处为原点．取通过旋转轴的任意平面为坐标面，这平面截此旋转面得曲线ｌ如图．
设的方程，点为上任一点，光线经反射后为为在点上的切线交轴于点，为在点的法线，根据光线的反射定理，有。
又设过点的切线与轴的夹角为．
则．又因是入射角
的余角，是反射角的余角．
于是，从而。
注意到。及，，
就得到函数所对应满足的微分方程。
把看作未知函数，看作自变量．上式为。
这是齐次方程，令，则，，代入上式得。
即 分离变量得，积分得 (为任意常数)
代回原变量，经化简整理得，
这就是所求的平面曲线，它是抛物线，它绕轴旋转所得曲面为旋转抛物面。
即探照灯的反射镜面为旋转抛物面．完）
《常微分方程》作业
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